Gleichmäßgie Stetigkeit - Komposition stetiger Funktionen

22.12.2011, 17:51

qed

Gleichmäßgie Stetigkeit - Komposition stetiger Funktionen

Servus!

Die folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.

Es ist f: R -> R eine stetige Funktion.
Die Funktion g ist definiert durch: $\begin{eqnarray*} g:= f(\frac{1}{1+x²}) \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist, dass g gleichmäßig stetig ist.

Ich muss zugeben dass mir meine Gedankengänge bisher ziemlich wirr erscheinen.
Trotzdem meine Überlegungen:

Die Funktion g ist stetig, da sie eine Komposition stetiger Funktionen darstellt (f und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$ ).

In Folge dessen ist $\begin{eqnarray*} |g(x) - g(y)| = |f(\frac{1}{1+x²}) - f(\frac{1} {1+y²})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt die Definition der Lipschitz-Stetigkeit hernehme, so könnte ich doch weiter abschätzen mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \leq L.|x - y| \end{eqnarray*}$ , da |x-y| auf jeden Fall positiv ist, und man L doch so wählen könnte, dass das Produkt kleiner jedem beliebigen Epsilon ist.

Eine lipschitz-stetige Funktion wäre dann auch gleichmäßig stetig.

Dieser ganze Ansatz kommt mir ziemlich wirr vor, aber ich finde einfach keinen anderen.
Ich hätte zwei Bitten:
1.) Vielleich kann mir jemand sagen, ab welchem Punkt meine Vermutungen nicht mehr der Realität entsprechen.
2.) Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß zur Lösung dieser Aufgabe geben. verwirrt

Liebe Grüße und Danke für Eure Zeit!

22.12.2011, 19:09

EinGast

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RE: Gleichmäßgie Stetigkeit - Komposition stetiger Funktionen
mein Vorschlag: zeige, dass die innere Funktion $\begin{eqnarray*} h(x):=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ gleichmässig stetig ist (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ).

Was kann man ausserdem über die Komposition von zwei gleichmässig stetigen Funktionen sagen?

23.12.2011, 20:45

qed

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Servus!

Danke für den Anstoß! Es war mir bisher nicht bewusst, dass die Komposition zweier gleichmäßig stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Aber woher wissen wir, dass f stetig ist?

Oder reicht für die gleichmäßige Stetigkeit von f(h(x)) das h gleichmäßig stetig ist und f stetig?

Lg

24.12.2011, 11:24

EinGast

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Hallo qed,

Zitat:

Original von qed
Es war mir bisher nicht bewusst, dass die Komposition zweier gleichmäßig stetiger Funktionen wieder stetig ist.

sogar gleichmässig stetig

Zitat:

Oder reicht für die gleichmäßige Stetigkeit von f(h(x)) das h gleichmäßig stetig ist und f stetig?

beachte, dass die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ liegen. Und die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf einem kompakten Intervall .....

24.12.2011, 14:53

qed

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Servus und Danke!

Die Funktion h liefert nur Werte innerhalb von [0,1], einem kompakten Intervall, dies ist dann die Definitionsmenge der stetigen Funktion f, diese ist also gleichmäßig stetig.

Weiters ist auch h stetig.

Damit ist auch die Kompoistion f(h(x)) gleichmäßig stetig.

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