absolutstetige nirgends diffbare Fkt auf Nullmenge

22.12.2011, 17:53	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
absolutstetige nirgends diffbare Fkt auf Nullmenge Aufgabe 9.4: (4 Punkte) Ist $\begin{eqnarray} N \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Lebesguesche Nullmenge, so existiert eine wachsende absolut-stetige Funktion $\begin{eqnarray} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ , die in keinem $\begin{eqnarray} x \in N \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Hinweis: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: (a, b) \rightarrow\mathbb R \end{eqnarray}$ heisst absolut-stetig in $\begin{eqnarray} (a, b) \end{eqnarray}$ , falls zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass aus der Bedingung $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} (b_i-a_i) < \delta \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} \|f(b_i)-f(a_i)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für jedes System von offenen, paarweise disjunkten Teilintervallen $\begin{eqnarray} (a_i , b_i )_{i\in I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a_i , b_i ) \in (a, b) \end{eqnarray}$ . Soweit die Aufgabe. Ich bin gerade etwas ratlos und wäre für ein paar Denkanstöße sehr dankbar. Frohe Weihnachten wünsch ich. Edit: Schulmathematik ist das ja nun wirklich nicht. Bitte achte darauf, dass du deine Fragen im passenden Unterforum postest. Verschoben! LG Iorek
23.12.2011, 01:14	Tabula-Rasa	Auf diesen Beitrag antworten »
huch da hab ich mich wohl verklickt. Übrigens muss das $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ in der letzten Zeile natürlich ein $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ sein.
24.12.2011, 02:34	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Fröhliche Weihnachten! Tipp: Wir erinnern uns daran, dass $\begin{eqnarray} f: \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ genau dann absolut stetig und monoton steigend ist, wenn es eine messbare Funktion $\begin{eqnarray} h:\mathbb R \to \mathbb R_{\ge 0} \end{eqnarray}$ gibt - welche lokal in $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ ist - mit $\begin{eqnarray} f(x) - f(0) = \int_0^t h(s) \, ds \end{eqnarray}$ und dass dann für fast alle x gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x+\epsilon) - f(x)}{\epsilon} = h(x) \end{eqnarray}$ Das legt die Idee nahe, von vornhinein nicht nach f(x), sondern nach h(x) zu suchen und dann $\begin{eqnarray} f(x) := \int_0^x h(s) \, ds \end{eqnarray}$ zu setzen. (Damit hat man die absolute Stetigkeit schonmal umsonst!) Überleg' dir also, was schiefgehen könnte, damit der Differenzenquotient nicht konvergiert. Ich denke, das sollte dich schon mal ein Stück weiterbringen.

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