Lagrange - Fkt. hat ein Maximum laut Lösung - wieso? |
| 22.12.2011, 18:56 | cx | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lagrange - Fkt. hat ein Maximum laut Lösung - wieso? Hallo, ich bin gerade leicht am Verzweifeln. Ich verstehe einfach nicht, wieso die folgende Lösung richtig sein soll. Die Funktion f(x,y) = x*y soll unter der Nebenbedingung 2*x+y = 100 maximiert werden. Laut Lösung liegt das Maximum bei x=25 und y=50. Meine Ideen: Im folgenden bezeichne ich die Lagrangefunktion mit einem L und Lambda mit einem t (der Übersichtlichkeit halber). Zunächst die Lagrangefunktion aufstellen: L(x,y) = x*y - t * (2*x + y - 100). Anschließend nach x ableiten und Null setzen. dL(x,y) / dx = y - 2*t = 0 -> y = 2*t Nach y ableiten und Null setzen. dL(x,y) / dy = x - t = 0 -> x = t Die Nebenbedingung war: 2*x+y=100, hier setze ich nun t ein: 2*t + 2*t = 100, also ist t=25. Somit ist x=25 und y=50. Das sind also genau die Stellen, die auch in der Lösung gegeben sind. Ich habe nun aber noch auf die hinreichende Bedingung geprüft. Zweite Ableitung von L nach x -> = 0. Zweite Ableitung von L nach y -> = 0. Nun untersuche ich die Differenz vom Produkt der zweiten Ableitung nach x und der zweiten Ableitung nach y minus der zweiten Ableitung nach x und y quadriert. L nach x und dann nach y abgeleitet ergibt 1. Also ist die Differenz: 0*0 - (1)^2 = -1. Das ist jedoch < 0. Wir haben jedoch gelernt, dass diese Differenz > 0 sein muss, damit eine Extremstelle existiert. Was mache ich falsch? Wo ist mein Denkfehler? 
Übrigens: Wolframalpha findet auch das Maximum bei x=25, y=50. Irgendwo MUSS ich etwas falsch machen... http://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize[x*y,+2*x+y=100] |
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| 23.12.2011, 11:23 | cx | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe nochmal im Internet recherchiert. Anscheinend ist es so, dass bei der Lagrangefunktion Maxima und Minima vorliegen können, obwohl nur die notwendige, jedoch nicht die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Kann das jemand bestätigen? 
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