Definition: Dynamisches System / Differentialgleichung

23.12.2011, 19:46

Gerald37

Definition: Dynamisches System / Differentialgleichung

Ich habe eine Frage zum tieferen Sinn der folgenden Definition:

Ein dynamisches System auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung
$\begin{eqnarray*} \Phi: \mathbb R \times M \to M \end{eqnarray*}$

für die die Flussaxiome

$\begin{eqnarray*} \Phi(0,p) = p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(s+t,p) = \Phi(s, \Phi(t,p) ) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} s,t \in G \end{eqnarray*}$ gelten.

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Warum definiert man dynamische Systeme / DGL
eigentlich so "umständlich"? Ich hätte jetzt einfach gesagt,
eine DGL ist so eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} y'(t) = v(t,y(t)) \end{eqnarray*}$

und fertig. Warum definiert man aber so einen Fluss,
und leitet dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'(t) = v(t,y(t)) \end{eqnarray*}$
daraus heraus? Die Fluss-Definition haben wir auch
gar nicht mehr verwendet.

MfG

24.12.2011, 03:16

gonnabphd

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Hi,

Die Idee ist folgende: Anstatt sich mit einem bestimmten AWP

$\begin{eqnarray*} y'(t) = F(t,y(t)) \qquad y(t_0) = y_0 \end{eqnarray*}$

zu beschäftigen, will man auch schauen, wie die Lösungen von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ abhängen (z.B. könnte man sich fragen, ob man unter kleiner Veränderung der Anfangsbedingungen auch erwarten darf, dass sich die Lösungen nur wenig unterscheiden).

Und dieses Einbeziehen der Anfangsbedingungen führt dich gerade zum Fluss! Zu

$\begin{eqnarray*} y'(t) = F(y(t)) \qquad y(t_0) = y_0 \end{eqnarray*}$

gehört zum Beispiel der Fluss $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (Nebenbemerkung: es gibt auch eine Version, in welcher man erlaubt, dass F von t abhängt, aber das führt dazu, dass der Fluss deinen Axiomen nicht unbedingt genügt), definiert über

$\begin{eqnarray*} \Phi(t,p) = y(t) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ die DGL mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(0) = p \end{eqnarray*}$ löst.

Beispiel: Haben wir im zweidimensionalen die DGL

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -y \\ x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[attach]22468[/attach]

Dann ist der Fluss gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(t,p\right) = \begin{pmatrix} r\cos(t+\delta) \\ r\sin(t+\delta)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p = (r\cos(\delta), r\sin(\delta)^T \end{eqnarray*}$ . Der Fluss beschreibt also gerade Kreise um den Ursprung! Das kann man auch anhand des Bildes oben erahnen.

Wie erhält man ganz allgemein das Bild des Flusses $\begin{eqnarray*} \Phi(t,p) \end{eqnarray*}$ ? Ganz einfach man startet beim Punkt p und fliesst dann für eine Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dem Vektorfeld nach. Dort wo man ankommt, das ist der Bildpunkt $\begin{eqnarray*} \Phi(t,p) \end{eqnarray*}$ . Damit sieht man nun gleich, woher die Fluss-Axiome kommen. Das erste sagt bloss aus, dass man - wenn man bei p startet und gleich wieder aufhört - sich nicht bewegt hat. Das zweite besagt, dass wenn man von p aus für s+t Zeit fliesst, dies das gleiche ist, wie wenn man von p für Zeit t fliesst und anschliessend von dort aus für s Zeit weiterfliesst. Absolut trivial, nicht?
Aber die Mathematiker haben leider oftmals die dumme Angewohnheit, alles zu komplizierter zu machen, als es im Grunde wäre (vonwegen Axiomatisierung). Augenzwinkern

Untersuchung des Flusses gewinnt also Bedeutung, wenn man Systeme qualitativ untersuchen will und nicht mehr explizit lösen kann.

24.12.2011, 09:32

Gerald37

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Hallo, vielen dank für die ausführliche Antwort Gott

Ja, ich hatte schon vermutet, dass mir da eine
verkomplizierte Definition aufgetischt wurde. Dass
es aber auch Sinn machen muss, war mir aber auch klar.

Aber ehrlich gesagt, die Sache mit dem Fluss / Vektorfeld
war mir auch klar. Das Vektorfeld der DGL habe ich mir nämlich auch immer
sehr angeschaut (wenn immer möglich ^^ in niederen Dimensionen).
Mir war früher schon klar, dass die Lösung den kleinen Pfeilen
folgt und was das Anschaulich für eine Bedeutung hat: Eine Lösung
der DGL muss der Strömung des Vektorfeldes folgen.

Und dass $\begin{eqnarray*} \Phi(s+t,p) = \Phi(s, \Phi(t,p) ) \end{eqnarray*}$ besagt, dass
die DGL deterministisch ist, oder?

Ich werde es mir auf jedenfall noch überlegen. Das ist vllt (wie so oft)
eine Gewöhnungssache.

Danke und schöne Feiertage Wink

24.12.2011, 14:03

gonnabphd

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Hmm, wenn du dir das shon alles klar ist, dann verstehe ich deine Frage allerdings wiederum nicht ganz... verwirrt

Was ich mit ursprünglich mit obigem im Sinn hatte (vielleicht bin ich dann abgeschweift^^)

Zitat:

Warum definiert man dynamische Systeme / DGL eigentlich so "umständlich"?

Weil es genau das wesentliche von oben erfasst und dabei möglichst allgemeingültig bleibt (es muss nicht immer der Fall sein, dass ein Fluss so direkt von einem Vektorfeld kommt).

Zitat:

Ich hätte jetzt einfach gesagt, eine DGL ist so eine Gleichung $\begin{eqnarray*} y'(t) = v(t,y(t)) \end{eqnarray*}$ und fertig. Warum definiert man aber so einen Fluss, und leitet dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'(t) = v(t,y(t)) \end{eqnarray*}$ daraus heraus?

Man studiert statt einer DGL den Fluss derselben, weil man alle Parameter variieren lassen will. Damit kann man sich fragen stellen, wie "ist p ein stabiles Gleichgewicht?", "ist das System chaotisch?", ...

Falls dir das eh klar ist: Vielleicht würde es dir ja was bringen mal ein paar Bücher durchzublättern und zu schauen, was die in dynamischen Systemen mit dem Fluss so anstellen.

Zitat:

Und dass $\begin{eqnarray*} \Phi(s+t,p) = \Phi(s, \Phi(t,p) ) \end{eqnarray*}$ besagt, dass die DGL deterministisch ist, oder?

Inwiefern man diese Gleichung so interpretieren kann, sehe ich nicht.
Ich würde eher sagen, wenn die Lösung für jedes AWP eindeutig ist (wenn z.B. der Satz von Picard-Lindelöf anwendbar ist), dann ist die DGL deterministisch.

06.01.2012, 12:02

Gerald37

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kann es sein, dass ich nicht einfach

dynamisches system mit DGL gleichsetzen kann?

DGL ist nur eine Teilmenge von DS oder? Das würde
meine Frage beantworten

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