Isomorphismus - Seite 2

28.12.2011, 23:55

galoisseinbruder

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Sowas hatten wir doch schon mal. In dem Skript ist die Multiplikation die Verknüpfung in der Gruppe. Hier ist sie es nicht.
Und ansonsten ist das "nur" der Nachweis, dass das f dort ein Homnomorphismus ist. (was durch den ganz linken und den ganz ganz rechten Term zu sehen ist.)
Dementsprechend müsstest du hier
$\begin{eqnarray*} f(a+b)= f(a) \circ f(b) \end{eqnarray*}$ zeigen.

29.12.2011, 00:11

Matzemathiker

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ok, dann kann ich das zeigen:

$\begin{eqnarray*} f (a+b)= a + b - 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f (a) \circ f (b)= (a-1)\circ (b-1)=(a-1) + (b -1) +1 = a-1+b-1+1 = a +b -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f (a+b)= a + b - 1 = f (a) \circ f (b) \end{eqnarray*}$

29.12.2011, 00:13

galoisseinbruder

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gelöscht wegen Blödsinn.

29.12.2011, 00:42

Matzemathiker

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ich bekomm das nie hin. sch.. auch

ist echt deprimierend unglücklich

unglücklich

29.12.2011, 08:53

lgrizu

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Das hier ist doch richtig:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f (a) \circ f (b)= (a-1)\circ (b-1)=(a-1) + (b -1) +1 = a-1+b-1+1 = a +b -1 =f(a+b) \end{eqnarray*}$

29.12.2011, 11:29

Matzemathiker

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oh bitte , mienst du das im ernst? ichhab gestern nacht alpträume von dieser aufgabe gehabt und mich gefragt, was ich falsch gemacht habe. ich bin nicht dahunter gekommen.

warum hat denn davor galoissenbruder geschrieben, dass das blödsinn ist.

oh man das erleichtert total.

Danke. aber was hab ich denn übersehen?

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29.12.2011, 11:47

Leopold

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Zitat:

Original von Matzemathiker
warum hat denn davor galoissenbruder geschrieben, dass das blödsinn ist.

"Blödsinn" hat er auf seinen eigenen Beitrag bezogen, nicht auf deinen.

29.12.2011, 12:07

lgrizu

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Was ist denn mit den anderen Aufgaben im Eröffnungspost?

Haben die sich erleidigt?

29.12.2011, 12:19

Matzemathiker

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RE: Isomorphismus

Zitat:

Original von Matzemathiker
Hallo

ich habe ein paar Aufgaben und eine Frage im Bezug auf Isomorphismen:

die erste Aufgabe hiesst: Zeige die Isomorphie $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R , +\right) und \left(\mathbb R ^{+}, \cdot \right) \end{eqnarray*}$

hat es was damit zu tun, dass man sagen kann: $\begin{eqnarray*} lnx + lny = ln \left(x \cdot y\right) \end{eqnarray*}$

und warum sind keine zwei der gruppen, $\begin{eqnarray*} D_{100}, S_{100}, \left(\mathbb Z,+ \right),\left(\mathbb Q^{*},\cdot \right) , \left(\mathbb C^{*},\cdot \right) \end{eqnarray*}$ isomorph?

hallo, oh ok, man und ich hab schon gedacht mir ist nicht mehr zu helfen Gott

Gott

die aufgaben oben haben sich soweit geklärt, DANKE

Vielleicht nur noch eine Sache:

$\begin{eqnarray*} f: x\rightarrow 2x \end{eqnarray*}$ ist ein Automorphismus der Gruppe $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R ^{*},\cdot \right) \end{eqnarray*}$

ich muss ja hier auch nichts anderes zeigen als $\begin{eqnarray*} f (a \cdot b)= f(a)\cdot f (b) \end{eqnarray*}$ für ein homomorphismus, dann die bijektion dazu durch umkehrfunktion und $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \circ f \end{eqnarray*}$ und wenn's die identität ist , dann ist es ein automorphismus

29.12.2011, 18:12

lgrizu

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RE: Isomorphismus
R* sind die reellen Zahlen ohne 0 ?

Mir scheint, dass du da vergeblich herumprobierst, die Abbildung ist kein Homomorphismus, es ist $\begin{eqnarray*} f(a \cdot b)=2 \cdot a \cdot b \neq 4 \cdot a \cdot b=(2 \cdot a) \cdot (2 \cdot b)=f(a) \cdot f(b) \end{eqnarray*}$

Sicher, dass nicht die reellen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung gemeint sind?

Dann würde es passen.....

29.12.2011, 21:38

Matzemathiker

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RE: Isomorphismus
ja genau, dass mit der * soll ohne 0 bedeuten. ist schon richtig mit der verknüpfung multiplikation. zur addition wäre es dann ein automorphismus

29.12.2011, 21:51

Matzemathiker

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RE: Isomorphismus
sagt mal was heisst alle struktuerhaltende Abbildungen von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{3},+_{3} ) \end{eqnarray*}$ AUF SICH?

ich weiss ja was struktuerhaltend beduetet, eben ein Homomorphismus ... nur eine auf sich?

mient man dann vielleicht die Abbildung $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_{3},+_{3} ) \rightarrow (\mathbb Z_{3},+_{3} ) \end{eqnarray*}$ somit dürfen nur dieselben Elemente der Menge benutzt werden?

29.12.2011, 22:17

Matzemathiker

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RE: Isomorphismus
wenn man also das neutrale element 0 auf 0 wieder abbildet und 2 auf 1 und 1 auf 2, dann hätte ich z.b. wieder eine abbildung, die strukturerhaltend ist.

$\begin{eqnarray*} 0 \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \mapsto 1 \end{eqnarray*}$

30.12.2011, 08:30

Ibn Batuta

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Ja, gesucht sind wohl alle Homomorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ auf sich selbst.

Das kann man sich auch leicht überlegen. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe (ist klar), allgemeiner $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine zyklische Gruppe.

Allgemein sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z / n \mathbb Z \to \mathbb Z / n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ (klar). Die anderen möglichen Gruppenhomomorphismen bekommt man, indem man zum Einen alle möglichen Abbildungen zwischen diesen Elementen brute forced (geht, da endlich - ist auch das, was du da gerade eben gemacht hast, hab's aber nicht überprüft) oder zum Anderen man sieht, dass für einen Gruppenhomomorphismus gilt

$\begin{eqnarray*} f(n) = f(1 + 1 + ... + 1) = \underbrace{f(1) + f(1) + ... + f(1)}_{n} \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

30.12.2011, 10:40

lgrizu

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Bei Gruppenisomorphismen müssen Erzueger der Gruppe aufeinander abgebildet werden. In der Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3,+ \end{eqnarray*}$ ist jedes Element ein Erzeuger (außer der 0), wie man leicht sieht (wir wählen hier den kleinsten postiven Repräsentanten der Restklassen):

$\begin{eqnarray*} 1 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+1 \equiv 2 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+1+1 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2 \equiv 2 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+2 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2+2+2 \equiv 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$

Welche Möglichkeiten hast du also, Automorphismen zu "konstruieren"?

Edit: Ich würde auch vorschlagen, du eröffnest für die nächte Aufgabe einen neuen Thread, wenn du immer wieder eine Aufgabe anhängst wird sich dieser Thread endlos in die Länge ziehen und außer den Personen, die bisher geholfen haben wird sich wohl niemand die Mühe machen, sich dieses durcheinander (vor allem am Anfang des Threads) vollständig durchzulesen.

Diese Aufgabe kann noch zu ende besprochen werden.

Edit 2: Ich gehe einmal davon aus, dass alle anderen bisher in diesem Thread angesprochenen Aufgaben vollständig geklärt sind?

30.12.2011, 13:16

Matzemathiker

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@ Igrizu:

hast recht werde dann ab der nächsten aufgabe ein neues Thread aufmachen. Die anderen Fragen wurden beantwortet. Freude

Freude

Nur wie kann ich jetzt alle Gruppenhomomorphismen konstruieren.

Ich kann also, nach deinen Angaben die Mengen :

$\begin{eqnarray*} \left\{0\right\} , \left\{ 1\right\} , \left\{ 1,2\right\} und \left\{ 0,1,2\right\} \end{eqnarray*}$

30.12.2011, 13:18

lgrizu

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Ich verstehe nicht, was du mit diesen Mengen anfangen willst.

Die Antwort habe ich dir doch bereits gegeben, indem du dir einen Erzeuger auswählst und ihn nacheinander auf alle möglichen Erzeuger der Gruppe abbildest.

30.12.2011, 13:21

Matzemathiker

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dann verstehe ich diese Frage nicht. verwirrt

verwirrt

Welche Möglichkeiten hast du also, Automorphismen zu "konstruieren"?

30.12.2011, 13:30

lgrizu

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Ein Erzeuger ist 1, ein weiterer Erzeuger ist 2, es gibt also die beiden Möglichkeiten f(1)=1 und f(1)=2.

30.12.2011, 13:48

Matzemathiker

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z.b.:

g:
$\begin{eqnarray*} 0 \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \mapsto 1 \end{eqnarray*}$

g (1 + 2) = g (1) + g (2)

g (0) = 2 + 1

0 = 0

30.12.2011, 14:49

lgrizu

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Dass die neutralen Elemente aufeinader abgebildet werden ergibt sich dirket aus der Homomorphiebedingung.

Den Isomorphismus hattest du doch schon, oder nicht?

Ein zweiter (und das ist immer ein Gruppenautomorphismus) ist die althergebrachte Identität.

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