Bestimme alle Endomorphismen

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chkmac Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme alle Endomorphismen
Meine Frage:
Was ich bis jetzt rausgefunden hab mit den Vorraussetzungen.
Für A = (a,b,c,d)
a²-c²=1
ab-cd=0
b²-d²=-1

aber weiter weiß ich nicht.

Meine Ideen:
irgendwas mit sin /cos=?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe ehrlich gesagt nur Bahnhof. Zeig' doch mal die komplette Aufgabenstellung.


Ibn Batuta
 
 
chkmac Auf diesen Beitrag antworten »

also
ich soll anhand von vorraussetzungen alle möglichen Endomorphismen angeben.

Die sehr bekannte Aufgabe die nach ähnlichen Muster läuft wäre A*A^t= E. Und man bekommt dann raus. Alle Drehungen bzw. Spiegelungen.

Ich habe anhand der gegebenen Vorraussetzungen rausgefunden, das für die Darstellungsmatrix aller Endomorphismen gilt:
a²-c²=1
ab-cd=0
b²-d²=-1

wobei gilt A= (a,b,c,d) (halt ne 2x2 Matrix).

Jetzt weiß ich leider nicht weiter. da man hier pythagoras wie beim oben genannten Beispiel nicht anwenden kann.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe noch immer Bahnhof. Ist das vielleicht ein Weihnachtsscherz?

Die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus eines endlichdimensionalen -Vektorraums über einem Körper bezüglich einer Basis ist eine Diagonalmatrix g.d.w. die Elemente von von Eigenvektoren von sind. Das kann man auch beweisen, aber das spare ich mir. Anders formuliert: ist diagonalisierbar. Kurz geschrieben: Sei ein -Vektorraum, dann nennt man diagonalisierbar, wenn es eine geordnete Basis von gibt, s.d. eine Diagonalmatrix ist.

Interssant ist doch, wenn zwei Darstellungsmatrizen gegeben sind, die von demselben Endomorphismus eines -dimensionalen Vektorraums gegeben sind. Dann gibt es doch sicherlich eine invertierbare Matrix mit (warum?). Doch wie sieht nun das charakteristische Polynom aus?

Sei nicht bekannt. Wegen für gilt doch (Determinantenmultiplikationssatz):



Damit ist gezeigt, dass die Darstellungsmatrizen vom gleichen Endomorphismus dasselbe charakt. Polynom besitzen. Es ist also das charakt. Polynom von jeder Darstellungsmatrix von .


Ibn Batuta
chkmac Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich aber irgendwie das Gefühl reingelegt zu werden. Es geht hier nicht um diagbarkeit.

Ich schreib den Typ Aufgabe auf den wir vorher gelöst haben:

Gesucht sind alle 2x2 Matrizen für die gilt A^T *A=E (Also A transponiert mal A gibt Einheitsmatrix)

Dadurch ergeben sich automatisch wenn man A=(a,b,c,d) setzt folgende Gleichungen:

a²+c²=1
ac-bd=0
b²+d²=1

Mithilfe Pythagoras und den Winkelsätzen sowie den Additionstheoremen erhält zwei Arten von Matrizen:

A=(cos,sin,sin,-cos) oder A=(cos,sin,-sin,cos).

Und dies ist gleichbedeutend mit Drehungen und Spiegelungen im R².
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Nun habe ich eine weiter Aufgabe bekommen.
Es ergeben sich ähnliche Gleichungen nur komme ich diesmal nicht weiter. Oder die Gleichungen
sind falsch. Aber ich hab paar mal nachgerechnet.
a²-c²=1
ab-cd=0
b²-d²=-1

Ich hoffe ich wurde jetzt ein bisschen verstanden.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe noch immer nicht viel bzw. was diese Gleichungen auf einmal sollen (sie sind ja nirgends hergeleitet worden), daher bin ich auch raus aus dieser Aufgabe.

Andere Helfer dürfen gerne hier weitermachen.

Außerdem legt dich hier niemand rein.


Ibn Batuta
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

An den Threadersteller: Du sprichst hier die ganze Zeit von einer "weiteren" Aufgabe, hast diese aber bis jetzt nicht im Originalwortlaut geposted.

Vielleicht solltest du das mal als erstes tun.
chkmac Auf diesen Beitrag antworten »

Das tut mir echt leid, dass ich euch hier mit meinem Scheiss so quäle. Mich wunderts aber warum mich keiner versteht. Ich poste jetzt trotzdem nochmal die erste Aufgabe die wir gelöst haben. Die weitere Aufgabe ist imo vom gleichen Typ. Das Problem ist würde jetzt auch noch im Oton die aufgabe angeben würde es noch mehr Verwirrung geben weil da viel zeug ist was man mit latex zeigen müsste und da bin ich nich so drin:

Also:
Aufgabe 1)

Bestimme alle 2x2 Matrizen




Wenn man nun die Matrix in die Vorraussetzung einsetzt ergibt sich folgendes:



Das heißt man erhält 3 Gleichungen, die die Koeffizient der Matrix erfüllen müssen.
Man kann nun und als Vektoren auf dem Einheitskreis auffassen.

Also ist dann und

Wenn wir nun die Vektoren auf die Gleichung ac-bd=0 anwenden erkennen wir ein Additionstheorem:


ist äquivalent zu:



Jetzt unterscheidet man 2 Fälle wann der cos 0 wird. Und erhält dann nach wenigen Überlegungen folgende Matrizen:


oder


Was man mit einem scharfen Auge als Drehung bzw. Spiegelung entlarven kann. Damit wäre die Aufgabe gelöst.

Jetzt kommen wir zur richtigen Aufgabe:

Aufgabe 2)

Nach gegebenen Vorraussetzungen unter anderem eine BLF kommt durch paar Überlegungen
auf folgende Gleichungen ähnlich wie bei Aufgabe 1)



Hier weiß ich aber nicht mehr weiter. Weil mir nichts so was elegantes wie mit pythagoras einfällt.


Wenn das immer noch so scheiße klingt was ich hier labere, dann überlege ich mir doch noch mal die ganze Aufgabe zu posten. Vielleicht hab ich ja den Anfang auch total falsch. Aber wenigstens die Aufgabe 1) müste doch jetzt verständlich sein.
chkmac Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: (hab da paar kleine Fehler bemerkt. Also bei Aufgabe 1) muss es in der Matrix heißen ab+cd=0 und nicht ac-bd=0. Und das -1 ist bei der einen Matrix vor dem falschen sinus. Aber trotzdem sollte man erkennen können wie der Gedanke ist. )
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier brauchst du dann halt nicht sin und cos sondern sinh und cosh.
chkmac Auf diesen Beitrag antworten »

jau das passt
super danke
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