Euler'sche formel

25.12.2011, 13:08	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler'sche formel Meine Frage: hallo und fröhliche weihnachten! bin grad dabei die summe von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \cos{k\phi} \end{eqnarray}$ mit hilfe von $\begin{eqnarray} e^{i\phi}=\cos{\phi}+i\sin{\phi} \end{eqnarray}$ zu berechnen. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \cos{k\phi} = \sum\limits_{k=0}^n \mathfrak{Re}(e^{i(k\phi )})= \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{l=0}^\infty (-1)^l \cdot \frac{(k\phi )^{2l}}{(2l)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=0}^n \lim_{n \to \infty}\sum\limits_{l=0}^n (-1)^l \cdot \frac{(k\phi )^{2l}}{(2l)!} \end{eqnarray}$ aber hier steck ich fest... kann jemand helfen?
25.12.2011, 13:34	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, den Realteil kannst du aus der Summe rausziehen und dann bleibt nur noch eine gewöhnliche geometrische Summe übrig, welche du auswerten kannst. mfg
25.12.2011, 14:01	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
so?: $\begin{eqnarray} ...~ = \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{l=0}^\infty (-1)^l \cdot \frac{(k\phi )^{2l}}{(2l)!} = \sum\limits_{l=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n (-1)^l \cdot \frac{(k\phi )^{2l}}{(2l)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{l=0}^\infty (-1)^l \cdot \frac{\phi ^{2l}}{(2l)!} \sum\limits_{k=0}^n k^{2n} = \cos{\phi}\sum\limits_{k=0}^n k^{2n} \end{eqnarray}$ bin ich jetzt fertig?
25.12.2011, 14:38	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
fertig bist du nicht, du solltest doch die summe berechnen, aber dort steht immernoch eine summe. es wäre einfacher nicht die reihe der Exponentialfunktion zu benutzen. also auf die Exponentialfunktion direkt die geo. Summe loszulassen. Dieses hast du ja bisher noch nicht benutzt. mfg
25.12.2011, 15:02	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal, mir ist nur nicht ganz klar, was du meinst. kannst du mir zeigen, was du meinst?
25.12.2011, 15:08	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{n}\Re{e^{ik\phi}} = \Re{\sum \limits_{k=0}^{n}(e^{i\phi})^{k}} \end{eqnarray}$ jetzt sollte es hoffentlich klingeln. mfg
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25.12.2011, 15:17	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
leider nein... aber egal... ich schaffs schon irgwie.. trotzdem vielen dank : )
25.12.2011, 15:32	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso, schaue doch zumindest nach was geo. Reihe bzw. Summe sein soll. also eine Reihe der form $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{n}q^k \end{eqnarray}$ und gerade das hast du doch vorliegen. mfg
25.12.2011, 19:55	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
danke... ich bin vorhin einfach nicht auf den beweis gekommen, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak{Re}\left(\sum \limits_{k=0}^{n}e^{i(k\phi )}\right) \end{eqnarray}$ das gleiche ist wie $\begin{eqnarray} \sum \limits_{k=0}^{n}\mathfrak{Re}(e^{i(k\phi )}) \end{eqnarray}$ . aber jetzt hab ichs und probiers damit mal...
26.12.2011, 23:44	bixle	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man bei der geom. Reihe dann wieder die Eulersche Formel verwenden, oder mit dem e weitermachen? Habe die Euler Formel angewandt und dann versucht, den Bruch mit dem komplex konjugierten Nenner reell zu machen, aber da kommt bei mir ein riesiger Schlonz raus, mit dem ich gar nix anfangen kann...

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