Definition von Injektivität

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Kmac Auf diesen Beitrag antworten »
Definition von Injektivität
Hi an alle,

Ich wollte nur kurz wissen, weshalb die Definition zur Injektivität von Abbildungen nicht folgendermaßen aussehen kann: (oder kann sie doch??)

Sei f: X ->Y eine Abbildung

f ist injektiv <=>

Es geht mir nun um das 2. Äquivalenzzeichen. In meinen Büchern finde ich immer ein "=>" an dieser Stelle. Ich habe bereits nach einem Gegenbeispiel gesucht, finde aber keins. Oder bedeutet es einfach nur, dass die Aussage
f injektiv <=> x=x' => f(x)=f(x') nichts aussagt!?!?

Vielen Dank im Vorraus schonmal,
und schöne Weihnachtsfeiertage
Grüße, Kmac
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Injektivität
Die Implikation gilt nur in eine Richtung:

f ist injektiv, wenn oder .
 
 
Eduard2412 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Implikation gilt nur in eine Richtung


Natürlich gilt eine Implikation nur in einer Richtung. Das andere wäre die Äquivalenz.


Zitat:
Ich wollte nur kurz wissen, weshalb die Definition zur Injektivität von Abbildungen nicht folgendermaßen aussehen kann:


So wie sie aussieht, genügt es, die vorliegende Definition ist so vollkommen ausreichend für die Injektivität. Die Äquivalenz gilt zwar auch, ist aber nicht notwendig für die Injektivität.


Frohe Weihnachten Prost
Kmac Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank euch beiden schonmal für eine Antwort,

@Eduard:
Wenn ich dann die Injektivität definieren soll,
geht es dann auch nur damit:

f injektiv <=> x=x' => f(x)=f(x')

???

Danke
Eduard2412 Auf diesen Beitrag antworten »

ganz genau Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kmac

f injektiv <=> x=x' => f(x)=f(x')


'Würde mal Einspruch einlegen.
Der Rechtspfeil der Äquivalenz zeigt nur, dass aus Injektivität eine Funktion zu folgern ist.. Gilt aber nicht umgekehrt.
Zudem für eine Definition unbrauchbar.
Eduard2412 Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Doch, natürlich gilt das hier:

x=x' => f(x)=f(x') => f injektiv.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, tut es nicht. Diese Implikation muss jede Funktion erfüllen, mit Injektivität hat das nichts zu tun. Korrekt wäre

(x = x' <= f(x) = f(x')) => f injektiv

Ein kleiner, aber wichtiger Unterschied. Mal abgesehen davon muss man natürlich sagen, was x und x' sein sollen.

air
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt ja hoffentlich unbestritten Folgendes:

Hat das ein Bild einer Abbildung ( Funktion ) genau ein Urbild oder Keines, dann Injektiv.

schöne Weihnachten an Alle smile
<ZeiT> Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und frohe Weihnachten!

Zitat:
Hat das ein Bild einer Abbildung ( Funktion ) genau ein Urbild oder Keines, dann Injektiv.


Das Bild einer Funktion ist die Wertemenge, diese hat kein Urbild, sondern die in ihr enthalten Funktionswerte haben eins Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

(?)
eine Funktion hat erstmal eine Zielmenge, das muss nicht die Wertemenge sein.

präziser:


für jedes Element der Zielmenge gilt:

Es hat genau ein Urbild exklusivoder Keines.
<ZeiT> Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss diese Aussage zurückziehen:

Zitat:
Das Bild einer Funktion ist die Wertemenge, diese hat kein Urbild, sondern die in ihr enthalten Funktionswerte haben eins


laut Wikipedia kann auch eine Menge, also in diesem Fall eine Zusammenfassung von mehreren Funktionswerten, ein Urbild haben. Mein Buch hat mir da was anderes aufgetischt...

Zitat:
Es hat genau ein Urbild exklusivoder Keines.


Das Urbild ist eine Menge, jedes Element hat ein Urbild, manche eben die Nullmenge.
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