minimaler Abstand von P zu Funktion |
| 26.12.2011, 13:28 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| minimaler Abstand von P zu Funktion Vom Parkplatz an der Position P (0/0,5) soll ein möglichst kurzer Zugangsweg zum Flussufer gebaut werden (1 LE = 100m). Der Fluss kann beschrieben werden durch die Funktion f(x) = 2 - 0,5x². Wie lang wird der Weg mindestens? Mein Lösungsansatz: Abstand zwischen zweier Punkte vorgegebener Punkt P ( 0/0,5) Punkt auf dem Graphen der Funktion Q ( x/f(x) ) Der Abstand PQ ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate 100²= (x-0)² + (2 - 0,5x² - 0,5)², nach dem Kürzen der Gleichung f(x) = x^4 / 4 + x²/2 - 100² + 9/4 f'(x) = x^3 + x dann setze ich die erste Ableitung gleich null x^3 + x = 0, faktorisiere x(x² + 1 ) = 0 dann bekomme ich 3 Lösungen, x1 = 0; x2 und x3 sind nicht möglich weil sie Wurzel aus einen negativer Zahl wären. Wenn man 0 in die Funktion einsetzt, bekommt man als Funktionswert y = 2, was mir nicht logisch ist . Was habe ich falsch gemacht oder interpretiert? Danke im Voraus für die Hilf LG und frohe Weihnachten Durcheinander |
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| 26.12.2011, 13:38 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Überlege dir zuerst einmal gründlich, was du eigentlich suchts bzw. bestimmen möchtest. Du hast den Abstand zu einem beliebigen Punkt auf dem Graphen bestimmt, du suchst aber den kürzesten Weg zum Graphen. Prinzipiell ist also eine Gerade zu bestimmen, die senkrecht auf dem Graphen steht und durch den Punkt P geht. |
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| 26.12.2011, 14:53 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Man sucht eigentlich die kleinsten Werte von x und y. Die Gerade wäre die Tangente zu Parabel. Geradegleichung y = mx + b m = f' aber wie kann ich die Info 100 m einsetzen und was soll ich abeliten , sodass ich ein Minimum bestimme Danke für die Hilfe, sie hat mir mehr Klarheit gegeben aber ich kann trotzdem nicht weiter machen. Gib mir bitte ein Paar Tips mehr und die Erklärung Danke nochmals Durcheionander |
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| 26.12.2011, 16:29 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Nein, die gesuchte Gerade ist keine Tangente an dem Graphen, sondern eine Sekante. !00m ist nicht einzusetzen, das benötigen wir erst, wenn wir die Länge des Weges bestimmen wollen, zuerst einmal sollten wir aber den "Verlauf" des Weges bestimmen, sprich eine Gerade bestimmen, die den Verlauf des Weges angibt. Also fangen wir einmal an, die allgemeine Form einer Sekante anzugeben. |
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| 26.12.2011, 20:04 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Die allgemeine Form einer Sekante ist : f(x) = mx + b Da ich zwei Punkte der Sekante habe, kann ich ihre Steigung bestimmen P (0/0,5) und Q ( x/ 2 - 0,5x²) dann m = 2 - 0,5x² - 0,5 / x - 0 ; m = 3 - x² / 2x dies für m in die Sekantengleichung einsetzen und da P (0/ 0,5) auf der Sekante liegt, setze ich in die Sekantengleichung, um b zubestimmen, b= 0,5 Wann und welche Funktion soll ich ableiten und das Minimum zu bestimmen? Wann werde ich genau die 100 m anwenden? Die Länge der Sekante ist bekannt , 100 m Wie komme zum Ergebnis? Welche ist die Haupbedingung? Tausend Dank für deine wertvolle Hilfe und entschuldige, dass ich mich so dumm anstelle LG Durcheinander |
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| 26.12.2011, 22:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Voll daneben mein Tip, wir müssen die Sekante gar nicht bestimmen, wir können das auch mit Pythagoras machen: Die eine Seite hat die Länge (x-0), die andere hat die Länge (f(x)-0.5). Es ist dann (und da ist der Fehler in deinem ersten Post): . Dann fassen wir r auf als eine Funktion von x, die zu minimieren ist. |
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| 26.12.2011, 23:45 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Warum kann ich nicht in die Gleichung r²= x² + y² anstatt von r², 100 einsetzen (1LE = 100m), Ist dies nicht schon die Länge (Abstand zwischen 2 Punkte) der Strecke. Warum muss ich die Hypotenuse berechnen, wenn ich den Wert 100 bereits habe. Der Tipp von Sekante wo ist einzusetzen? binomische Formel anwenden , kürzen und ableiten und Null setzen Dann komme ich zum Ergebnis? Denke nochmals und hoffentlich kriege ich damit das richtige Ergebnis. Vele Grüße Durcheinander |
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| 27.12.2011, 09:21 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Weil du die Läange des Weges berechnen sollst. Die Angabe, dass eine Längeneinheit 100m sind ist erst hilfreich, wenn wir wissen, wie viele Längeneinheiten der Weg misst. Zuerst einmal ist die Wurzel zu ziehen, da wir uns oberhalb der x-Achse befinden (Der Scheitelpunkt der Parabel leigt in (0/2) und der Punkt P ist (0/0,5)) benötigen wir nur . Die Ideen sind richtig, du kannst erst die Binomische Formel auf die Klammer loslassen und dann Ableiten. |
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| 27.12.2011, 15:06 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Ich habe die Gleichung abgeleitet und kriegte 3 Werte für x. Dann habe ich die zweite Ableitung berechnet, sodass ich für jeden Wert für x (Nullstelle) bestimmen konnte, ob es um ein Maximum oder Minimum der Funktion geht. Der einzige Wert > 0 ist + 2^0,5 und das ist das Minimum und da wir den kürzesten Zugangsweg suchten habe ich diesen Wert von x in R²= eingestezt und das Ergebnis war, dass der Weg muss 1,5 LE haben. st dieses das richtige Ergebnis? Danke für deine Hilfe und Geduld Igrizu Liebe Grüße Durcheinander |
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| 27.12.2011, 15:37 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Die Nullstellen der Ableitung r'(x) sind x=0 und x=1 und x=-1. Bei x=1 und x=-1 liegt ein Minimum vor. |
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| 27.12.2011, 22:04 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Die Ableitung nach meiner Berechnung ist (0,5/sqr (0.25x**4 - 0.5x**2 + 2.25)*(x**3 - 2x) und dann = 0 erster Faktor ist weg und bleibt x**3 - 2x = 0 faktorisiere x und dann x(x² - 2) = 0 und daraus x=0; x= 2**0.5 und x= -2**0.5 Woher kriegt man X=1 und x=-1? Welche ist der kürzeste Zugangsweg? Danke für die Erklärung Grüße Durcheinander |
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| 27.12.2011, 22:08 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Die Ableitung ist: . Du hast beim Differenzieren einige Fehler gemacht. |
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| 27.12.2011, 22:48 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Stimmt, habe ich gerade gemerkt, als ich den Term 0.5x**2 abgeleitet habe, vergass ich 2 wegzukürzen. Danke nochmals aber der Wert vom Zugangsweg ist +/- 2**0.5 LE nachdem man 1 und - 1 in die Funktion R² einsetzt . stimmt es oder ist es mir wieder einen Fehler unterlaufen? Grüße und Danke im Voraus Igrizu Durcheinander |
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| 27.12.2011, 23:13 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Der Funktionswert ist an den beiden Stellen x=1 und x=-1 gleich, wie man auch an dem Graphen sehen kann, es ist . |
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| 28.12.2011, 00:25 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion das bedeutet, dass der kurzer Zugangsweg 1,4142 LE ist Ist diese die Antwort der Aufgabe? Danke und viele Grüße Durcheinander |
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| 28.12.2011, 00:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: minimaler Abstand von P zu Funktion
Das ist zwar prinzipiell richtig, doch es geht leichter: Anstatt die Wurzel zu differenzieren, kann man das auch mit deren Quadrat machen (also die Wurzel weglassen), weil das Quadrat an derselben Stelle seine Extrema besitzt; und anstatt der binomischen Formel findet die Kettenregel Verwendung: mY+ |
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| 04.01.2012, 14:55 | Durcheinander | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Hallo Igrizu , freues neues Jahr, wie weißt du, dass es um ein Minimum geht wenn du keinen Graphen hättest, Man muss dafür die zweite Ableitung berechnen um hier die Nullstellen der ersten Ableitung einsetzen. So kann ich sicher sein , dass es um ein Minimum geht , wenn der Wert > 0 ist aber wie kannst du es festgestellt ohne einen GRaphen zu haben? Danke im Voraus Viele Grüße Durcheinander |
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| 04.01.2012, 15:30 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Hast du doch selber bereits gesagt, indem man die zweite Ableitung zu Hilfe nimmt. Edit: Auch ein schönes neues Jahr 
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| 09.01.2013, 15:07 | lala16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion warum hat die eine seite die länge x-0 und die andere seite f(x)-0,5? verstehe ich nicht. |
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| 09.01.2013, 19:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: minimaler Abstand von P zu Funktion Ein über ein Jahr alten Thread wieser ausgebuddelt... Weil der Parkplatz auf dem Punkt (x,/y)=(0/0,5) ist. |
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