Beweis einer Gleichung mit Differenzenquotienten

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26.12.2011, 16:39	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Gleichung mit Differenzenquotienten Ich habe folgende Aufgabe die ich versuche, wie der Titel schon sagt mittels Differenzenquotienten zu Beweisen. Beweisen sie die folgende Aussage mit Hilfe des Differenzenquotienten. Es sei g eine differnzierbare reelle Funktion. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{g(x)} \right)' = \frac{g'(x)}{g(x)^{2} } \end{eqnarray}$ Bisher war meine Überlegung erstmal zu versuchen die rechte und linke Seite getrennt von einander zu betrachten und irgendwie zu vereinfach, bis auf beiden Seiten das gleiche steht. Linke Seite: Hier dachte ich mir, ich müsste beim Ableiten die Quotientenregel anwenden, also $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{g(x)} \right)' = \frac{1' g(x) - 1 * g'(x)}{g(x)^{2}} \end{eqnarray}$ , da bei mir 1 Abgeleitet Null ergibt bleibt nurnoch $\begin{eqnarray} \frac{- g'(x)}{g(x)^{2} } \end{eqnarray*}$ womit das ganze bewiesen wäre, aber ist das auch das in der Aufgabenstellung gefragte ? Danke und frohe Weihnachten euch allen.
26.12.2011, 17:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer Gleichung mit Differenzenquotienten Du sollst das mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen, Quotientenregel darauf loslassen ist ja trivial. Bilde zuerste einmal den Differenzenquotienten.
26.12.2011, 17:12	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich schon fast befürchtet. Ich mache mich mal eben an die linke Seite. Bitte korriegiert mich wenns falsch wird... $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \frac{ \frac{1}{g(x + \Delta x)} - \frac{1}{g(x)} } {\Delta x} \end{eqnarray}$ Ist das so der richtige Anfang ? Wenn ja, muss ich mir wohl jetzt mal überlegen wie ich das gründlich umformen kann...
26.12.2011, 17:23	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Schaffe zuerst einmal Nennergleichheit.
26.12.2011, 17:40	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf doch nichts aus der Funktion "herausziehen" oder ? Daher fällt mir nur ein das ganze anders zu schreiben. $\begin{eqnarray} \frac{g(x + \Delta x)^{-1} - g(x)^{-1}}{\Delta x} \end{eqnarray}$ Das ist natürlich nur begrenzt hilfreich. Ich denke mal gerade weiter nach...
26.12.2011, 18:02	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Peinlich aber mir fällt nichts ein wie ich den obigen Term umformen könnte... Ich denke morgen mal mit einem frischen Kopf drüber nach, wenn mir jemand über Nacht helfen will, danke
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26.12.2011, 19:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, Nennergleichheit: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{g(x_0+h)}-\frac{1}{g(x_0)}}{h}=\frac{\frac{g(x_0)}{g(x_0+h) \cdot g(x_0)}-\frac{g(x_0+h)}{g(x_0) \cdot g(x_0+h)}}{h} \end{eqnarray}$ Nun noch ein bisschen umformen und man hat es.
27.12.2011, 21:08	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, ich kann deine Umformung noch nicht ganz nachvollziehen und schreibe es mal auf wie ich es versuchen würde. $\begin{eqnarray} -\frac{g'(x)}{g(x)^{2}} \end{eqnarray}$ Hier nun der Differenzenquotient um die erste Ableitung zu lösen und ausmultiplikation des Vorzeichens: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{-g(x + h) + g(x)}{h} }{g(x)^{2}} \end{eqnarray}$ Den Bruch kann ich hochziehen(oder ?): $\begin{eqnarray} \frac{-g(x + h) + g(x)}{h g(x)^{2}} \end{eqnarray}$ Das könnte ich nun auseinander ziehen: $\begin{eqnarray} \frac{-g(x + h)}{h * g(x)^{2}} + \frac{g(x)}{h * g(x)^{2}} \end{eqnarray}$ Dann noch gekürzt und umgestellt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{h * g(x)} - \frac{g(x + h)}{h * g(x)^{2}} \end{eqnarray*}$ Das sieht nur leider noch nicht ganz so aus wie auf der linken Seite. Hier stehe ich gerade auf dem Schlauch. Ich komme einfach nicht auf den selben Nenner wie du. Wo verändert sich der denn ?
27.12.2011, 21:30	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedenke, dass wir einen Grenzwert betrachten. Wir nutzen insgeheim auch aus, dass g(x) als auf dem gesamten Def Bereich differenzierbar ist. Also gut, dann aus der anderen Richtung: $\begin{eqnarray} -\frac{g'(x)}{g(x)^2}=\lim_{h \to 0}-\frac{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)^2} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}-\frac{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)^2}=\lim_{h \to 0}-\frac{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x) \cdot g(x+h)}=\lim_{h \to 0}- \frac{g(x+h)-g(x)}{h \cdot g(x) \cdot g(x+h)}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h \cdot g(x+h)}- \frac{1}{ h \cdot g(x)} \end{eqnarray}$ So weit bist du im Prinzip ja auch schon gekommen, nun der letzte Schritt: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}\frac{1}{h \cdot g(x+h)}- \frac{1}{ h \cdot g(x)}=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h} \end{eqnarray}$
28.12.2011, 10:44	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, erstmal danke dir. Aber da ich hier auf Verständnis aus bin und nicht nur eine Lösung Frage ich nochmal nach. Mir ist ein Schritt nicht ganz klar. Du hast zu Beginn im Hauptnenner $\begin{eqnarray} g(x)^{2} \end{eqnarray}$ und wandelst das in $\begin{eqnarray} g(x) g(x + h) \end{eqnarray}$ um. Aber wie ? Ich meine eigentlicht steht dort doch $\begin{eqnarray} g(x) * g(x) \end{eqnarray*}$ . Darf man dass den einfach so Umwandeln nur weil wir den Grenzwert betrachten ?
28.12.2011, 10:52	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion differenzierbar ist an der Stelle x bedeutet das auch, dass sie an der Stelle x stetig ist und das bedeutet, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}g(x+h)=g(x) \end{eqnarray}$ ist. Ich habe ja bereits oben geschrieben, dass insgeheim differenzierbarkeit ausgenutzt wird.
28.12.2011, 11:02	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ,wie gesagt ich war mir lediglich unsicher. Vielen Dank. Es könnte sein, dass du meine Klausur rettest
28.12.2011, 12:06	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wäre nach deiner Argumentation g(x) gleichbedeutend mit g(x + h) solange wir den Grenzwert betrachten ? Dann wäre es doch eigentlich egal ob ich nun g(x) irgendwo hinschreibe oder eben g(x +h) ? Edit: Um meine Frage etwas genauer zu formulieren. Könnte ich nach deiner Argumentation nicht alle g(x) mit g(x + h) in den Gleichungen ersetzen ?
28.12.2011, 12:31	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Können schon, wenn g stetig ist, aber wozu? Manm sollte, wenn man etwas zeigen soll auch das Ziel im Auge behalten.
28.12.2011, 12:46	Azzie2k8	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, ich bin es nur nicht gewohnt, dass ich mir in Mathe aussuchen darf wie ich etwas umforme,bzw. was nur teilweise umzuformen. Das kommt mir dann immer etwas seltsam vor Aber vielen vielen lieben Dank. Du bist mein Retter. Wünsche dir noch einen guten Rutsch.

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