Verteilungsdichte der e-Funktion bestimmen

27.12.2011, 00:38

Tharion

Verteilungsdichte der e-Funktion bestimmen

Bestimmen Sie die Verteilungsdichten von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ für eine $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$ –verteilte zufällige Größe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösungsansätze.

also zuersteinmal hier das Verteilungsgesetz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \! e^{-\frac{t^2}{2}} dt \end{eqnarray*}$

ich muss hier quasi nur $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ für das t einsetzen, die Integralsgrenzen substituieren und dann über $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ integrieren, oder?

Oder hat das was mit linearer Transformation zu tun und ich bin mit meinem Ansatz voll auf dem Holzweg?

Also...vielen Dank fürs lesen.

Tharion

02.01.2012, 18:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tharion
also zuerst einmal hier das Verteilungsgesetz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \! e^{-\frac{t^2}{2}} dt \end{eqnarray*}$

Von der Formel her rechts richtig, aber das als $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen, ist nicht nur unüblich, sondern unzureichend. Üblicher wäre die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ für Verteilungsfunktion ( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kennzeichnet eher die zugehörige Dichte), Index $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für die Zufallsgröße, um die es geht, sowie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als eigentliches Argument der Verteilungsfunktion.

Soweit zu den langweiligen, nichtsdestotrotz wichtigen Formalien, wenn es exakt zugehen soll - nun zu den Inhalten: Tatsächlich gelangt man zu den Dichten von $\begin{eqnarray*} Y=e^X \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Z=e^{-X} \end{eqnarray*}$ am besten über die Verteilungsfunktionen, soweit ist dein Weg richtig. In der konkreten Umsetzung wird's dann aber bei dir mit dem bloßen Einsetzen von "e^x für t" gruslig falsch. unglücklich

Richtig geht es so: Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} F_Y(x) = P(Y\leq x) = P\left( e^X \leq x \right) = P(X \leq \ln(x)) = F_X(\ln(x)) \end{eqnarray*}$ ,

nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet (Kettenregel beachten!)

$\begin{eqnarray*} f_Y(x) = \frac{\dd}{\dd x}F_X(\ln(x)) = F_X'(\ln(x))\cdot \frac{\dd}{\dd x} \ln(x) = f_X(\ln(x))\cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ,

nach Einsetzen der Normalverteilungsdichte demnach

$\begin{eqnarray*} f_Y(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac{(\ln(x))^2}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Wie die Dichte für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ aussieht, solltest du in einer kleinen Extraüberlegung schnell rauskriegen.

12.02.2012, 17:53

Tharion

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Vielen Dank für die schnelle und guterklärte Antwort, Hal 9000.

Sorry, das ich erst jetzt reingucke, doch iwie kam keine Mail bei mir an, das hier geantwortet wurde und dann hatte ich noch wirklich viel mit meinem Studium zu tun.

für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist die Dichte ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da der logarithmus naturalis auf Werten $\begin{eqnarray*} (\infty,0] \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Sofern ich es richtig begriffen hab.

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