Roulette-Strategie: Verdreifachen?

27.12.2011, 05:04

blackdrake

Roulette-Strategie: Verdreifachen?

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem bzgl des Martingaltheorie. (Ich bin darauf gekommen, als eine Spammail mit "Geld zu Hause verdienen" das Verdoppeln beim Roulette erklärt hatte - ich glaube natürlich nicht an solchen humbug, dass man eine Spielbank bescheißen kann.)

Beim Roulette gibt es das Spiel um die einfache Chance, z.B. Rot oder Schwarz oder Pair und Impair. Unter Berücksichtigung dass man beim Fall Zéro die Hälfte des Einsatzes verliert, ergibt sich folgende Verteilung:

P(Gewinn) = 18,25 / 37
P(Verlust) = 18,75 / 37

Bekannt ist ja die weit bekannte Martingal-Strategie "Verdoppeln" bei der man seinen Einsatz jedes Mal verdoppelt sobald man verliert. Nicht zuletzt wegen der maximalen Grenze des Roulettes (meist das 1200-fache des Minimalbetrages) funktioniert diese Strategie nicht und es gewinnt auf lange Zeit die Bank.

Auf der Wiki-Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Martingalespiel wird vorgerechnet, wieso das Verdoppeln nicht funktioniert.

Die Martingal-Theorie ( http://de.wikipedia.org/wiki/Martingal ) zeigt, dass es kein erfolgreiches System für das Roulette geben kann. (Allerdings war die Theorie dahinter etwas zu kompliziert für mich, um es nachzuvollziehen)

(Im Wikibeispiel) In der 12ten Runde ist die Erfolgsaussicht zwar bei 99% um die 10 EUR zu gewinnen, allerdings besteht die Gefahr <1% dass man 40.950 € verliert. Es bildet sich somit ein negativer Erwartungswert. Diese Rechnung habe ich nachvollziehen können.

Ich habe in einem Excelsheet einfach mal das "Verdreifachen" probiert und kam auf einen positiven Erwartungswert, was ja eigentlich nicht sein kann. Trage ich als Basis die 2 ein, kommt wie erwartet der negative Erwartungswert heraus.

Laut dieser Rechnung wäre in der 7ten Runde der mögliche Gewinn 3650 EUR und der mögliche Verlust 10930 EUR. Allerdings ist der Erwartungswert aufgrund des hohen Erfolges der Martingalrunde positiv geworden im Gegensatz zu dem Verdoppeln (bei dem man nur 10 EUR unabhängig bei welcher Runde gewinnen kann).

Wo ist hier der Gedankenfehler? verwirrt

Anbei meine Excel-Rechnung für das Verdoppeln, Verdreifachen und Vervierfachen sowie einen PNG-Screenshot vom Excel-Blatt falls jemand kein Excel hat.

Gruß
blackdrake

(Disclaimer: Ich beabsichtige natürlich nicht, Glückspiel zu betreiben oder ein System zum Angriff auf eine Spielbank zu finden. Es interessiert mich lediglich die Theorie dahinter.)

27.12.2011, 09:56

ollie3

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RE: Roulette-Strategie: Verdreifachen?
hallo blackdrake.
erstmal vielen dank für deinen tollen beitrag.
Jaja. den trick mit dem immer das doppelte setzen kannte ich auch schon, und deine berechnungen mit
dem erwartungswert sind auch alle richtig, aber der haken bei all diesen systemen ist, das man nie
unendlich viel geld zur verfügung hat. und wenn man irgendwann nicht mehr das dopppelte oder 3fache
setzen kann, ist ja alles geld weg.
Und die leute, bei denen das system funktioniert hat, das sind die, die dann irgendwann im casino hausverbot
bekommen. Big Laugh

gruss ollie3

27.12.2011, 12:06

Joerg

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Die Frage ist doch, ob man zumindest zeitweise, mit positiven Erwartungswert spielen kann. Und das scheint mir aus dem Excelsheet hervorzugehen. Wo ist also der Fehler?

Eine andere Frage ist, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, mit begrenztem Guthaben pleite zu gehen. Dass die >0 ist, ist klar.

27.12.2011, 23:19

blackdrake

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Hallo,

Selbstverständlich ist das begrenzte Kapital ein Problem. Es ist rein theoretisch möglich dass man jede Martingalrunde hintereinander verliert und somit Bankrott geht, egal wie groß das Ausgangskapital war. Die Frage ist allerdings wie wahrscheinlich dies ist. Da mein errechneter Erwartungswert positiv ist, gehe ich davon aus dass es hinreichend unwahrscheinlich ist?

Es scheint aufgrund des positiven Erwartungswertes in den Runden 2-8 beim Verdreifachen ein relativ sicheres System zu sein, was ja nicht sein kann, denn es ergibt sich folgendes Paradoxon:

1. Die Martingaltheorie sagt aus dass es kein funktionierendes System geben kann.
2. Da bei jeder gespielten Runde im Roulette die Bank eine Gewinnchance von 19/37=51% hat, dürfte es doch gar nicht möglich sein, die Bank anzugreifen und auf lange Zeit Gewinn zu erzielen. Oder ist dies stochastisch kein aussagekräftiges Argument?

Gruß
Blackdrake

28.12.2011, 09:29

Joerg

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Kannst du mal die Ergebnisse für die Runden 9-15 und verdreifachen posten? Ich habe den Verdacht, dass das irgendwann ins Negative abdriftet und da auch nicht mehr rauskommt...

28.12.2011, 11:16

blackdrake

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Es gibt keine 9. Runde wegen dem höchstbetrag von 1200 mindesteinsätzen (in meinem beispiel 12000 euro). Wenn jemand wirklich 8 mal hintereinander verliert, verliert er ca. 22930 eur (siehe excelsheet). allerdings ist das relativ unwahrscheinlich.

28.12.2011, 12:48

dinzeoo

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Zitat:

1. Die Martingaltheorie sagt aus dass es kein funktionierendes System geben kann.

richtig.

zu deiner strategie:

der fehler liegt in deiner berechnung des erwartungswertes. ich hab mich mit deiner exceltabelle nicht intensiv mit beschäftigt (werde ich übrigens auch nicht Augenzwinkern

) aber ein fehler ist schonmal bei den wahrscheinlichkeiten. du kannst nicht immer P(mindestens einmal gewinn) nehmen.

mal anschaulicher:
in deiner runde 8 bei verdreifachen steht folgendes:
zu 0.43% verlierst du 22930 (hab es nicht nachgerechnet aber wird wohl stimmen) aber du gewinnst nicht zu 99.x% 1070.

die richtige wahrscheinlichkeit für diesen gewinn beträgt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{18.75}{37}\right)^{7}\cdot \frac{18.25}{37} \end{eqnarray*}$

28.12.2011, 23:23

blackdrake

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Oh, “mindestens einmal gewinnen “ ist ein bisschen ungünstig ausgedrückt. Es müsste heißen “in dieser runde gewinnen “ und das ist der kehrwert . Dass in dem vorherigen runden nicht gewonnen wurde steht ja fest.

29.12.2011, 00:45

blackdrake

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Besser ausgedrückt:

z.B. in Runde 5:

P(In Runde 5 verlieren | 4 Runden vorher verloren) = 50% ^ 5

P(In Runde 5 gewinnen | 4 Runden vorher verloren) = 1 - P(Verlieren | 4 Runden vorher verloren)

29.12.2011, 13:24

dinzeoo

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Zitat:

Original von blackdrake
Oh, “mindestens einmal gewinnen “ ist ein bisschen ungünstig ausgedrückt. Es müsste heißen “in dieser runde gewinnen “ und das ist der kehrwert .

auf die bezeichnung wollte ich nicht hinaus, du verwendest für die berechnung des erwartungswert falsche wkeiten.

Zitat:

P(In Runde 5 gewinnen | 4 Runden vorher verloren) = 1 - P(Verlieren | 4 Runden vorher verloren)

nope... ich geh mal davon aus, dass du bedingte wahrscheinlichkeiten meinst. zwei sachen:

1) vorgehensweise ist falsch siehe z.b. wikipedia erwartungswert.
2) berechnung ist auch falsch.

roulette runden sind unabhängig voneinander, d.h.

P(in runde 5 gewinnen | 4 runden vorher verloren)=P(in runde 5 gewinnen)=18.25/37

wenn du es genauer haben willst, dann berechne mal per hand den erwartungswert für 3 runden mit der verdreifachen strategie. der sollte nach deinen berechnungen ja auch positiv sein.
mit per hand meine ich, dass du die vollständige rechnung hier postest, dann kann ich dir vll besser die fehler zeigen.

30.12.2011, 00:36

blackdrake

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Ok,

ich richte mich mal nach dem Beispiel von Wikipedia, bei dem von einem Verlustchance von 19/37 ausgegangen wird.

Gegeben sei des weiteren ein von der Bank festgelegter Höchsteinsatz von 20480 EUR (ebenfalls aus dem Wikipedia-Beispiel). Somit sind exakt 12 Martingalrunden möglich.

Bei meiner Rechnung (sowohl per Hand als auch in dem leicht modifizierten Excelsheet) kommt dann wie im Wikipediabeispiel -3,77 EUR raus:

Rechnung: Verdoppeln

Konstantendeklaration:

StrategieFaktor: $\begin{eqnarray*} F := 2 \end{eqnarray*}$ (Verdoppeln)

Mindesteinsatz: $\begin{eqnarray*} M := 10 \end{eqnarray*}$

Maximalrundenanzahl: $\begin{eqnarray*} R := 12 \end{eqnarray*}$

Verlustchance: $\begin{eqnarray*} P(V) := 19/37 = 1 - P(G) \end{eqnarray*}$

Gewinnchance: $\begin{eqnarray*} P(G) := 18/37 = 1 - P(V) \end{eqnarray*}$

Einsatz in Runde x gilt:

$\begin{eqnarray*} Einsatz(x) = M \cdot F^{x-1} = 10 \cdot 2^{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Verlust(x) = \sum_{i=1}^{x}{Einsatz(i)} = \sum_{i=1}^{x}{M \cdot F^{i-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gewinn(x)=\begin{cases}<br /> Einsatz(x), & \text{wenn }x = 1\\<br /> Einsatz(x) - Verlust(x-1), & \text{wenn }x > 1<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für die Runde R=12 gilt:

$\begin{eqnarray*} Einsatz(12) = 10 \cdot 2^{12-1} = 20480 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Verlust(12) = \sum_{i=1}^{12}{10 \cdot 2^{i-1}} = 10 + 20 + ... + 10240 + 20480 = 40950 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gewinn(12) = Einsatz(12) - Verlust(11) = 20480 - 20470 = 10 \end{eqnarray*}$

Nun die Berechnung des Erwartungswertes der Martingalrunde R=12:

$\begin{eqnarray*} E(R) = P(G)^R \cdot Gewinn(R) - (1-P(V)^R) \cdot Verlust(R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(12) = (18/37)^{12} \cdot 10 - (1-(19/37)^{12}) \cdot 40950 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(12) = 99,96638% \cdot 10 - 0,03362% \cdot 40950 = -3,77 < 0 \end{eqnarray*}$

-3,77 EUR ist auch das Ergebnis das bei Wikipedia rauskommt. Daher gehe ich davon aus, dass meine Rechnung richtig ist.

Verdreifachen

StrategieFaktor: $\begin{eqnarray*} F := 3 \end{eqnarray*}$ (Verdreifachen)

Da wir im ersten Beispiel den Höchsteinsatz auf 20480 EUR festgelegt haben, müssen wir - damit wir die Strategien vergleichen können - die Rundenanzahl beim Verdreifachen auf 7 verkürzen. Der Einsatz in der 7. Runde wäre 7290 EUR. Die 8. Runde hätte 21870 EUR Einsatz was das Limit sprengen würde.

Maximalrundenanzahl: $\begin{eqnarray*} R := 7 \end{eqnarray*}$

Die restlichen Konstanten bleiben.

Die analoge Berechnung:

Für die Runde R=7 gilt:

$\begin{eqnarray*} Einsatz(7) = 10 \cdot 3^{7-1} = 7290 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Verlust(7) = \sum_{i=1}^{7}{10 \cdot 3^{i-1}} = 10930 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gewinn(7) = Einsatz(7) - Verlust(6) = 7290 - 3640 = 3650 \end{eqnarray*}$

Nun die Berechnung des Erwartungswertes der Martingalrunde R=7:

$\begin{eqnarray*} E(R) = P(G)^R \cdot Gewinn(R) - (1-P(V)^R) \cdot Verlust(R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(7) = (18/37)^{7} \cdot 3650 - (1-(19/37)^{7}) \cdot 10930 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(7) = 99,14178% \cdot 3650 - 0,85822% \cdot 10930 = 3524,87 > 0 \end{eqnarray*}$ !!

Vervierfachen

Der vollständigkeit halber:

Beim Vervierfachen (F=4) gäbe es R=6 Runden und der Erwartungswert wäre hier sogar

$\begin{eqnarray*} E(6) = 98,30645% \cdot 6830 - 1,69355% \cdot 13650 = 6483,16 > 0 \end{eqnarray*}$

Gruß
blackdrake

30.12.2011, 03:01

dinzeoo

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ok, da du dir viel mühe gegeben hast und anscheinend auch gewillt bist es zu verstehen, werde ich mal versuchen es so simple wie möglich zu erklären. mit simple läuft man leider oft in die gefahr mathematisch nicht im allgemeinen richtig zu liegen, deshalb sichere ich mich etwas ab und beziehe mich ab jetzt nur noch auf diskrete wahrscheinlichkeitsräume oder vll sogar noch spezieller, nur noch auf unser roulette problem Augenzwinkern

also zuerst dein fehler:

Zitat:

Original von blackdrake
$\begin{eqnarray*} E(12) = (18/37)^{12} \cdot 10 - (1 - (19/37)^{12}) \cdot 40950=-3,77 \end{eqnarray*}$

unabhängig davon, dass die rechnung nicht stimmt (hast die wkten vertauscht), kannst du es nicht einfach auf deine verdreifachen strategie übernehmen. dein sogenannter "kehrwert" (wird übrigens üblich mit wkeit über das gegenereignis bezeichnet) stimmt in der verdreifachstrategie nicht mehr mit der verdopplungsstrategie überein. sprich:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E(7) = (18/37)^{7} \cdot 3650 - (1 - (19/37)^{7}) \cdot 10930= 3524,87 \end{eqnarray*}$

ist falsch.

fangen wir mal etwas allgemein an:
möchte man den erwartungswert berechnen, überlegt man sich zuerst alle möglichen ausgänge. danach werden diese gewichtet mit den entsprechenden wahrscheinlichkeiten und dann aufsummiert. das wars schon. wir betrachten uns jetzt mal den fall R=3, also drei spielrunden.

zuerst verdopplungsstragie:
was kann passieren?

erste runde: entweder man gewinnt direkt 10 euro und das spiel ist zu ende oder man verliert und kommt in die zweite runde.

zweite runde: entweder man gewinnt 10 euro (spiel zu ende) oder verliert->

dritte runde: entweder man gewinnt 10 euro oder verliert (10+20+40)=70 euro.

zusammenfassend gibt es folgende ausgänge:
10,10,10,-70

das sind also alle ausgänge die eintreten können, numerieren wir sie mal gedanklich von 1) bis 4). jetzt kommt der spannende teil, die entsprechenden wahrscheinlichkeiten zu diesen ausgängen. diese sind nämlich für den erwartungswert relevant, damit werden die ausgänge gewichtet. übrigens, die summe dieser wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben d.h. zu 100% tritt einer dieser ausgänge auch ein. damit kann man im zweifelsfall fehler in der rechnung finden.
zu den wkeiten:

1) diese 10 euro gewinnen wir in dem wir in der ersten runde direkt gewinnen, die wkeit beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$ (im fall das beim eintreten der null halbiert wird, wäre es übrigens 18.25/37, nur so am rande)

2) um in runde zwei 10 euro zu gewinnen, müssen wir die erste runde verlieren und die zweite gewinnen. wkeit = $\begin{eqnarray*} \frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

3) diese 10 euro gewinnen wir, falls runde 1 verlieren, runde 2 verlieren, runde 3 gewinnen. wkeit also $\begin{eqnarray*} \frac{19}{37}\cdot\frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

4) um 70 zu verlieren müssen wir alle 3 runden verlieren, d.h. wkeit= $\begin{eqnarray*} \frac{19}{37}\cdot\frac{19}{37}\cdot \frac{19}{37}=\left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$

daraus folgt für den erwartungswert wie oben beschrieben:

$\begin{eqnarray*} E=10\cdot\frac{18}{37}+10\cdot\frac{19}{37}\cdot\frac{18}{37}+10\cdot\frac{19}{37}\cdot\frac{19}{37}\cdot\frac{18}{37}-70\cdot\left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$

im fall der verdopplungsstrategie kann man es einfacher berechnen, nämlich über das gegenereignis. über die ausgänge 10,10,10,-70 weiss ich ja, wie schon oben angedeutet, dass die summe der entsprechenden wkeiten = 1 ergibt. da in diesen 4 ausgängen die 10 dreimal auftaucht kann ich die ausgänge auch zusammenfassen zu 10 und -70 (genau dieser trick geht bei der verdreifach strategie nicht mehr). nochmal, die summe der wkeiten ergibt = 1 Augenzwinkern

. also genügt es nur die wkeit von -70 zu bestimmen, die wie schon berechnet $\begin{eqnarray*} \left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$ ist. dann folgt die wkeit für 10 logischerweise durch $\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$ .
also ist der erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E=10\cdot (1-\left(\frac{19}{37}\right)^3)-70\cdot\left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$

die beiden berechneten erwartungswerte sind natürlich identisch.

jetzt kommen wir zu deiner verdreifachstrategie, hier gehen wir analog wie oben vor. also zuerst alle ausgänge notieren:

erste runde gewinnen wir 10 euro oder weiter zur runde zwei

zweite runde gewinnen wir 20 euro oder weiter zur runde drei

dritte runde gewinnen wir 50 euro oder verlieren 130 euro.

ausgänge also 10,20,50,-130. die wahrscheinlichkeiten betragen:

1) für 10 euro gewinnen = $\begin{eqnarray*} \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

2)für 20 euro (also erste runde verlieren, zweite gewinnen) = $\begin{eqnarray*} \frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

3) 50 euro = $\begin{eqnarray*} \frac{19}{37}\cdot\frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

4) 130 euro verlieren = $\begin{eqnarray*} \left(\frac{19}{37}\right)^3 \end{eqnarray*}$

(die wkeiten sind übrigens identisch mit der verdopplungstrategie)

erwartungswert ist dann:

$\begin{eqnarray*} E=10\cdot \frac{18}{37}+20\cdot \frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37}+50\cdot\frac{19}{37}\cdot\frac{19}{37}\cdot \frac{18}{37}-130\cdot \left(\frac{19}{37}\right)^3<0 \end{eqnarray*}$

diesen erwartungswert kann man NICHT wie in der verdopplungstrategie weiter zusammenfassen. möchtest du es für 7 runden bestimmen ist es auch nicht schwieriger, erst alle ausgänge aufschreiben, danach die wkeiten bestimmen....

ich hoffe mal, dass es jetzt ausführlich genug erklärt ist und du den fehler in deiner rechnung siehst. falls nicht kannst du gerne fragen, sonst hätte ich es hier nämlich alles umsonst geschrieben Augenzwinkern

30.12.2011, 04:16

blackdrake

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Hallo dinzeoo,

vielen Dank für deinen ausführlichen Beitrag! Freude

Ich sehe nun wo das Problem lag und verstehe auch wieso meine Rechnung für Faktor 2 stimmte. Dadurch dass Gewinn(x) = 10 = const für alle x war, konnte man das im Erwartungswert zusammenfassen, was bei einem nicht konstanten Gewinn nicht möglich ist.

Ich konnte jetzt die richtigen Erwartungswerte ausrechnen und wie erwartet feststellen, dass es für alle Strategien keinen positiven Erwartungswert gibt.

smile

Gruß
blackdrake

30.12.2011, 13:40

dinzeoo

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hi... nix zu danken.

Zitat:

Dadurch dass Gewinn(x) = 10 = const für alle x war, konnte man das im Erwartungswert zusammenfassen, was bei einem nicht konstanten Gewinn nicht möglich ist.

jepp, da lag dein problem. schön das du es verstanden hast, wobei ich glaube das du dich in deiner exceltabelle verrechnet hast. aber negative erwartungswerte sind schonmal besser als positive Augenzwinkern

z.b. deine erste spalte ist ja -0.41. wie kommst du genau auf diesen wert?
bei nur einer spielrunde mit faktor beliebig gibt es ja nur die ausgänge 10 gewinn oder 10 euro verlieren, d.h.

$\begin{eqnarray*} E=10\cdot \frac{18.25}{37}-10\cdot \frac{18.75}{37}\approx -0.14 \end{eqnarray*}$

oder bei 12 spielrunden mit faktor 2 sollte

$\begin{eqnarray*} E=10\cdot (1-\left(\frac{18.75}{37}\right)^{12})-40950\cdot \left(\frac{18.75}{37}\right)^{12}\approx -1.75 \end{eqnarray*}$

rauskommen.

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