Fluss durch Stück Kugel

27.12.2011, 13:09

Margarita90

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Fluss durch Stück Kugel

Hallo,
gesucht ist der Fluss von f durch die Fläche F mit
$\begin{eqnarray*} F=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,y,z>0\} \text{ und } f(x,y,z)=(xy,yz,xz) \end{eqnarray*}$ .
Mit Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=\sin u \cos v, y=\sin u \sin v, z=\cos u \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} F=\{(u,v):u \in [0, \frac{\pi}2), v \in [0,\pi)\} \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das erstmal? Die Bedingungen y,z>0 hab ich jetzt so interpretiert, dass quasi eine viertel Kugel herauskommt.
So, das hab ich jetzt erstmal mit dem Satz von Gauß probiert. Also:
$\begin{eqnarray*} div f = x+y+z \end{eqnarray*}$
Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$
Jetzt hätte ich für x,y,z die jeweiligen Transformationen, wie oben angegeben, eingesetzt. Stimmt es, dass gilt $\begin{eqnarray*} dxdydz=r^2 \sin u \text{ } drdudv \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, würde hier also stehen:
$\begin{eqnarray*} ...= \int_0^{\pi} \int_0^{\frac{\pi}2} \int_0^1 r(\sin u \cos v + \sin u \sin v + \cos u)r^2 \sin u \text{ }drdudv \end{eqnarray*}$

Ist dieser Weg der richtige?

Danke und liebe Grüße!

27.12.2011, 21:30

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Mit Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=\sin u \cos v, y=\sin u \sin v, z=\cos u \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} F=\{(u,v):u \in [0, \frac{\pi}2), v \in [0,\pi)\} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das erstmal?

Jep. Passt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} div f = x+y+z \end{eqnarray*}$
Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$

Der Integrationsbereich stimmt hier nicht, du meintest bestimmt Integration über die Vollkugel?

Zitat:

Stimmt es, dass gilt $\begin{eqnarray*} dxdydz=r^2 \sin u \text{ } drdudv \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Zitat:

Ist dieser Weg der richtige?

Ja, das kann man so machen.

Edit: Ich merke gerade, dass du die ebenen Seitenflächen vergessen hast. Der Satz von Gauss sagt, dass für ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Rand $\begin{eqnarray*} \partial G \end{eqnarray*}$ sowie für jedes Vektorfeld $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \int_G \operatorname{div }X \, \mathrm dV = \int_{\partial G} \langle X(x), \nu(x) \rangle \, \mathrm d\sigma \end{eqnarray*}$

Bei dir wäre $\begin{eqnarray*} G = \{(x,y,z)\in \mathbb R^3\;|\; x^2 + y^2 + z^2 \le 1, \; y,z\ge 0\} \end{eqnarray*}$ , also ist dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zwar eine Teilmenge des Randes $\begin{eqnarray*} \partial G \end{eqnarray*}$ , aber es fehlen noch die Teile mit $\begin{eqnarray*} \{y = 0\}, \{z=0\} \end{eqnarray*}$ .

29.12.2011, 10:22

Margarita90

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

$\begin{eqnarray*} div f = x+y+z \end{eqnarray*}$
Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$

Der Integrationsbereich stimmt hier nicht, du meintest bestimmt Integration über die Vollkugel?

Nein, eigentlich nicht... Wieso soll ich nun über die Vollkugel integrieren? Es geht doch um den Fluss durch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ?! Und oben hab ich doch beschrieben, was $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist...

Zitat:

aber es fehlen noch die Teile mit $\begin{eqnarray*} \{y = 0\}, \{z=0\} \end{eqnarray*}$ .

Warum sind die denn nicht enthalten, wenn ich $\begin{eqnarray*} u \in [0,\frac{\pi}2] \text{ und } v \in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ wähle?
Und wenn ich das jetzt machen will: wie geht das?
y=0 würde doch heißen: $\begin{eqnarray*} r \in [0,1], v \in [0,\pi] \text{ und } u=\frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$
Und das setze ich dann ein wie oben? Aber das kann doch nicht sein... ich würde doch dann gleich in der Divergenz x+y+z schon y=0 setzen, oder? Aber andererseits: wenn ich in $\begin{eqnarray*} y=r \sin v \sin u \end{eqnarray*}$ setze $\begin{eqnarray*} u=\frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$ , dann ist doch $\begin{eqnarray*} y=r \sin v \end{eqnarray*}$ und nicht Null... aber anschaulich müsste doch die y-Koordinate dann Null werden?? Ich versteh das nicht...

Danke und viele Grüße!

29.12.2011, 13:36

gonnabphd

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Zitat:

Nein, eigentlich nicht... Wieso soll ich nun über die Vollkugel integrieren? Es geht doch um den Fluss durch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ?! Und oben hab ich doch beschrieben, was $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist...

Ich denke, hier sollten wir erstmal ein bisschen näher drauf eingehen. Du willst den Fluss von f durch die Fläche F berechnen. Das heisst, du willst den Wert des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_F f\cdot \mathrm d \vec \sigma \end{eqnarray*}$

berechnen, wobei $\begin{eqnarray*} \mathrm d \vec \sigma \end{eqnarray*}$ das vektorielle Oberflächenelement sei. Da dieses Oberflächenintegral nicht so einfach zu berechnen ist, schlägst du vor

Zitat:

So, das hab ich jetzt erstmal mit dem Satz von Gauß probiert.

Nun, was sagt der Satz von Gauss genau aus? Und weshalb kann das

Zitat:

Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$

nicht stimmen?

01.01.2012, 15:35

Margarita90

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Zitat:

Nun, was sagt der Satz von Gauss genau aus? Und weshalb kann das

Zitat:

Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$

nicht stimmen?

Also in meinen Aufzeichnungen sieht der Satz von Gauß so aus:
Wir haben eine offene und beschränkte Menge $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit glattem Rand. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sei die äußere Normale und $\begin{eqnarray*} F:U \cup \partial U \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig diffbar. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_U div F dx = \int_{\partial U} \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$

Den Fluss eines Vektorfeldes durch U haben wir definiert: $\begin{eqnarray*} \text{Fluss} = \int_U \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$
Allerdings seh ich jetzt, dass das ja nicht ganz der rechten Seite im Satz von Gauss entspricht, weil ich hier über ganz U und nicht nur über den Rand integriere... hm... wie geht das denn nur?

01.01.2012, 15:55

gonnabphd

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Zitat:

Den Fluss eines Vektorfeldes durch U haben wir definiert: $\begin{eqnarray*} \text{Fluss} = \int_U \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$

Das ist falsch (und macht auch gar keinen Sinn, weil $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bloss auf dem Rand definiert ist!). Korrekt wäre

$\begin{eqnarray*} \text{Fluss} = \int_{\partial U} \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$

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02.01.2012, 13:13

Margarita90

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Okay, ich muss dazu sagen: Wir haben bei der Flussdefinition gesagt:
Sei U eine Untermannigfaltigkeit mit normierter Normale $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F:U \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein stetiges Vektorfeld, so def. man den Fluss von F durch U (in Richtung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ durch ...(was oben steht)

02.01.2012, 16:00

gonnabphd

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Zitat:

Okay, ich muss dazu sagen: Wir haben bei der Flussdefinition gesagt: Sei U eine Untermannigfaltigkeit mit normierter Normale $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F:U \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein stetiges Vektorfeld, so def. man den Fluss von F durch U (in Richtung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ durch ...(was oben steht)

O.k. das stimmt so auch. (Nur das U von dieser Definition hat nichts mit dem U aus dem Gauß'schen Satz zu tun) Dann alles klar?

02.01.2012, 20:00

Margarita90

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Nein, leider nicht alles klar unglücklich

unglücklich

Du hast doch weiter oben gefragt:

Zitat:

Nun, was sagt der Satz von Gauss genau aus? Und weshalb kann das

Zitat:

Fluss $\begin{eqnarray*} = \int_F div f d \vec x = \int_F (x+y+z) dxdydz \end{eqnarray*}$

nicht stimmen?

Ich weiß es immer noch nicht, warum stimmt es nicht? Du hast doch gesagt, es gilt: $\begin{eqnarray*} \text{Fluss}=\int_{\partial U} \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$
Außerdem sagt der Satz von Gauß:
$\begin{eqnarray*} \int_U div F d \vec x = \int_{\partial U} \langle F, \mu \rangle d \sigma \end{eqnarray*}$

Die beiden rechten Seiten sind gleich, also:
$\begin{eqnarray*} \text{Fluss}=\int_U div F d \vec x \end{eqnarray*}$ ,
wobei in meiner Aufgabe U=F und F=f gilt...

Und U ist doch meine Viertelkugel, das heißt r läuft von 0 bis 1, u von 0 bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$ und v von 0 bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Ich versteh nicht, was da falsch ist in meinem ersten Post unglücklich

unglücklich

Auch nicht das mit den Seitenflächen... ich hab doch nunmal über den ganzen Körper der viertel Kugel integriert, die Seiten sind doch da mit dabei?!?!?

02.01.2012, 20:13

Margarita90

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Und jetzt mal vom Satz von Gauß abgesehen:
Wie mache ich das denn ohne diesen?
Mit dem Integral über das Skalarprodukt mit der Normalen?
Stimmt folgendes?:

$\begin{eqnarray*} \mu = \begin{pmatrix} \cos v \sin u \\ \sin v \cos u \\ \cos u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> \text{Fluss}=\int_{\partial F} \langle f, \mu \rangle d \sigma <br /> = \int_{\partial F} \langle \begin{pmatrix} \sin v \cos v \sin^2 u \\ \sin v \sin u \cos u \\ \cos v \sin u \cos u \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \cos v \sin u \\ \sin v \cos u \\ \cos u \end{pmatrix} \rangle d \sigma <br /> = \int_0^{\pi} \int_0^{\frac{\pi}2} (\sin v \cos^2 v \sin^3 u + \sin^2 v \sin^2 u \cos u + \cos v \sin u \cos^2 u)dudv \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 09:04

gonnabphd

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Ja, man könnte den Fluss in diesem Fall auch einfach so direkt ausrechnen. Allerdings nur, weil das Vektorfeld in diesem Fall sehr einfach ist. Genauso gut könnte hier (in einer Prüfung z.B.) folgendes Vektorfeld stehen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = (xy+\sin(yz),yz-\sin(xz),zx) \end{eqnarray*}$

Zu Gauß: Ist F wirklich der (ganze) Rand von der Viertelkugel? (Zeichne es dir mal auf)

03.01.2012, 20:05

Margarita90

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Zitat:

Original von gonnabphd
Genauso gut könnte hier (in einer Prüfung z.B.) folgendes Vektorfeld stehen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = (xy+\sin(yz),yz-\sin(xz),zx) \end{eqnarray*}$

Entschuldige die doofe Frage, aber inwiefern ist dieses Vektorfeld ein Problem? Wegen der Integration?

Zitat:

Original von gonnabphd
Zu Gauß: Ist F wirklich der (ganze) Rand von der Viertelkugel? (Zeichne es dir mal auf)

Achso: Für F selbst gilt y,z>0, aber der Rand von F wäre ja y,z=0
(wie du es ja eigentlich schon in deiner ersten Antwort geschrieben hattest Hammer

Hammer

)

also für die Seite y=0, z>0:
$\begin{eqnarray*} r \in [0,1] \\ u \in [0,\frac{\pi}2] \\ v \in \{0, \pi\} \end{eqnarray*}$
Dann wäre
$\begin{eqnarray*} x \in \{r \sin u, -r \sin u\} \\ y = 0 \\ z = r \cos u \end{eqnarray*}$
Und dann so hier?:
$\begin{eqnarray*} \text{Fluss}_{\text{ Seite y=0, z$>$0}}= \int_{\text{Seite y=0, z$>$0}} (x+z) d \vec x \underset{\text{für versch. v, oder?}}{\overset{\text{x hebt sich weg}}{=}} \int_{\text{Seite y=0, z$>$0}} z d \vec x = \int_0^{\frac{\pi}2} \int_0^1 r \cos u \cdot r^2 \sin u \text{ }drdu \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 21:00

gonnabphd

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Zitat:

Entschuldige die doofe Frage, aber inwiefern ist dieses Vektorfeld ein Problem? Wegen der Integration?

Ja. Dann hättest du was wie $\begin{eqnarray*} \sin(\cos^2(u)\sin(v)) \end{eqnarray*}$ zu integrieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Fluss}_{\text{ Seite y=0, z$>$0}}= \int_{\text{Seite y=0, z$>$0}} (x+z) d \vec x \underset{\text{für versch. v, oder?}}{\overset{\text{x hebt sich weg}}{=}} \int_{\text{Seite y=0, z$>$0}} z d \vec x = \int_0^{\frac{\pi}2} \int_0^1 r \cos u \cdot r^2 \sin u \text{ }drdu \end{eqnarray*}$

Du willst nun also den Fluss durch die Seitenfläche mit y = 0, z>0, i.e. durch die Fläche

$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z) \mid y = 0, \, z > 0, \, x^2 + z^2 \le 1 \} \end{eqnarray*}$

berechnen. Was du nach dem ersten Gleichheitszeichen geschrieben hast, ist mir nicht ganz klar. Du scheinst die Divergenz von f über die Fläche zu integrieren. Doch eigentlich musst du über den Fluss von f durch die Fläche integrieren.

Was ist der Normalenvektor von der Ebene $\begin{eqnarray*} \{(x,y,z) \mid y = 0 \} \end{eqnarray*}$ , welcher aus der Viertelkugel herauszeigt?
Was ist also

$\begin{eqnarray*} \int_{\text{Fläche mit y =0, z>0}} \langle f, \mu\rangle \; d\sigma \end{eqnarray*}$

? Bzw. was ist der Integrand?

04.01.2012, 12:12

Margarita90

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Zitat:

Original von gonnabphd
Was ist also

$\begin{eqnarray*} \int_{\text{Fläche mit y =0, z>0}} \langle f, \mu\rangle \; d\sigma \end{eqnarray*}$

? Bzw. was ist der Integrand?

Müsste doch Null sein, oder? Denn:
$\begin{eqnarray*} \mu = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \text{ und } f = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ xz \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$ , letzteres, weil y=0.

04.01.2012, 12:54

gonnabphd

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Freude

Keine Einwände.

04.01.2012, 13:02

Margarita90

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Das ist schön zu hören smile

smile

Aber wie mach ich das denn nun über den Gauß (oder Stokes)?
Vielleicht mal noch dazu: Die eigentliche Aufgabenstellung war es, erst den Fluss zu berechnen und damit dann den Satz von Stokes zu verifizieren (wobei Gauß ja nur Stokes aufsummiert).

Liebe Grüße

04.01.2012, 13:51

gonnabphd

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Zitat:

Aber wie mach ich das denn nun über den Gauß?

Die Viertelkugel sei G: Dann hast du nach Gauss

$\begin{eqnarray*} \int_G \operatorname{div }f \, \mathrm dV = \int_{\partial G} \langle f, \mu \rangle \, \mathrm d\sigma = \text{Fluss durch $F$} + \text{Fluss durch Seite $y=0$} + \text{Fluss durch Seite $z = 0$} \end{eqnarray*}$

denn der Rand von G setzt sich gerade aus diesen drei Stücken zusammen. Nun kannst du das umstellen nach Fluss durch F.

Zitat:

Die eigentliche Aufgabenstellung war es, erst den Fluss zu berechnen und damit dann den Satz von Stokes zu verifizieren (wobei Gauß ja nur Stokes aufsummiert).

Oje...

unglücklich

Dann hättest du ja eigentlich was anderes machen sollen. Was sagt der Satz von Stokes? Was sagt der Satz von Gauss? Worin unterscheiden die beiden Sätze sich?

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