Nullstellen Funktionsschar

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27.12.2011, 14:42	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen Funktionsschar Hallo! Und zwar habe ich eine Aufgabe, wo ich nicht genau weiß, wie ich vorgehen muss. Gegeben sei eine Funktionenschar $\begin{eqnarray} f_{a} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y = f_{a}(x) = ax³ + x² - \frac{x}{a} , x\in \mathbb R , a\in \mathbb R , a \neq 0 \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass jeder Graph der Schar genau drei Schnittpunkte mit der Abszissenachse hat! Hmm.. meine Idee war: x ausklammern, Gleichung 0 setzen, $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ wäre 0, und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ durch die Lösungsformel berechnen? also so: $\begin{eqnarray} 0 = ax³ + x² - \frac{x}{a}<br /> 0 = x ( ax² + x - \frac{1}{a})<br /> x_{1} = 0<br /> <br /> 0 = x² + \frac{x}{a} - \frac{1}{a²} \end{eqnarray}$ richtig soweit? oder schon total falscher Ansatz?
27.12.2011, 15:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher sehr schön und richtig. mY+
27.12.2011, 15:39	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh danke ist $\begin{eqnarray} x_{2} = \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{3} = \frac{2-2x}{2a} \end{eqnarray}$ ?
27.12.2011, 17:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wie hast du denn das gerechnet? Du musst dies mit der Lösungsformel der quadratischen Gleichung machen. Überdies kannst du die Richtigkeit deiner Lösungen sofort durch Einsetzen (Probe!) überprüfen. mY+
27.12.2011, 18:04	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_{2\|3} = -\frac{\frac{x}{a}}{2} \pm \sqrt{\frac{(\frac{x}{a})^{2}}{4} - (- \frac{1}{a²})} <br /> <br /> x_{2\|3} = - \frac{x}{2a} \pm \sqrt{\frac{x²}{4a²} + \frac{1}{a²} } <br /> <br /> x_{2\|3} = - \frac{x}{2a} \pm \sqrt{\frac{x²}{4a²} + \frac{4}{4a²}} <br /> <br /> x_{2\|3} = - \frac{x}{2a} \pm \sqrt{\frac{x² + 4}{4a²} }<br /> <br /> x_{2\|3} = - \frac{x}{2a} \pm \frac{x + 2}{2a} \end{eqnarray}$ Oder ist der letzte Umformungsschritt falsch?
27.12.2011, 21:21	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner, der mit helfen kann? :\|
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27.12.2011, 21:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Gleichung nach x aufzulösen ist, hat die Variable x auf der rechten Seite der Lösungsformel nichts mehr verloren. Also musst du anstatt x nur dessen Koeffizienten (1) setzen! Und ausserdem ist $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b \end{eqnarray}$ mY+
27.12.2011, 22:36	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
ah dankeschön, hab den fehler gefunden Habe noch ein kleines Problem..: Durch $\begin{eqnarray} y = f_{a}(x) = x³ + ax² + (a-1)x, x\in \mathbb R , a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ ist eine Funktionenschar gegeben. Berechnen Sie die Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ , an der alle Funktionen der Schar den gleichen Anstieg haben, sowie den Wert, den dieser Anstieg an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ annimmt. Ich finde da überhaupt keinen Ansatz :-(
28.12.2011, 00:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anstieg (= Steigung) der Funktion ist durch deren 1. Ableitung gegeben, soviel sollte dir bekannt sein. Nimm dann zwei voneinander verschiedene Parameter a an, z.B. a1 und a2 und setze die damit gebildeten Ableitungen gleich. Du erhältst schließlich ein x (=x0), welches von den Parametern (a1, a2) unabhängig ist. [ x0 = -1/2; k = -1/4 ] mY+
28.12.2011, 09:27	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{a}'(x)= 3x² + 2ax + a - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x² + 2a_{1}x + a_{1} - 1 = 3x² + 2a_{2}x + a_{2} - 1 \end{eqnarray}$ Aber durch Umformen komm ich irgendwie auch nicht weiter ^^
28.12.2011, 09:31	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Was erhälst du denn wenn du nach x auflöst bzw. wie ist dein Rechenweg ?
28.12.2011, 10:25	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> 2a_{1}x + a_{1} = 2a_{2}x + a_{2}<br /> <br /> a_{1}(2x + 1) = a_{2}(2x + 1)<br /> <br /> 2x + 1 = 2x + 1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ? ich hab irgendwie..keine Ahnung
28.12.2011, 10:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Zeile stimmt noch. Nur danach klammere nicht auf jeder Seite etwas aus, sondern bringe die Terme mit x auf eine Seite, klammere nur x aus und löse somit dann nach x auf.
28.12.2011, 10:48	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> 2a_{1}x + a_{1} = 2a_{2}x + a_{2}<br /> <br /> 2a_{1}x - 2a_{2}x = a_{2} - a_{1}<br /> <br /> x(2a_{1} - 2a_{2}) = a_{2} - a_{1}<br /> <br /> x = \frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1} - 2a_{2}} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ so?
28.12.2011, 10:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Nun klammere im Nenner mal -2 aus und schau dir den Bruch dann nochmal genau an.
28.12.2011, 11:03	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> x = \frac{a_{2} - a_{1}}{-2(-a_{1} + a_{2})} <br /> <br /> x = \frac{a_{2} - a_{1}}{-2(a_{2} - a_{1})} <br /> <br /> x =- \frac{1}{2} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> f_{a}'(x) = 3x² + 2ax + a - 1<br /> <br /> f_{a}'(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + a + a - \frac{4}{4}<br /> <br /> f_{a}'(-\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} <br /> <br /> m = - \frac{1}{4} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ ich hoffe, es ist jetzt richtig?
28.12.2011, 11:08	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf den Vorzeichenabschreibfehler in Zeile 5 sieht das prima aus.
28.12.2011, 11:16	bingomutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
oh stimmt $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f_{a}'(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + a - a - \frac{4}{4}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ dankeschöön

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