Cauchysches Verdichtungskriterium

27.12.2011, 15:44

500 Miles

Cauchysches Verdichtungskriterium

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Es ist zu zeigen, dass man das Cauchysche Verdichtungskriterium nicht anwenden kann, wenn die gegebene Folge der $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ nicht monoton fällt. Man muss also ein Gegenbeispiel finden, bei dem man eine unendliche, konvergente Reihe über lauter positive Summanden bildet, bei dem dann aber die Reihe über $\begin{eqnarray*} 2^{n}*a_{2^n} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Ich habe nach längerer Überlegung zwar einen Ansatz, bin mir aber unsicher, was diesen angeht. Wäre für Kritik und/oder einen besseren Ansatz dankbar.

Sei die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n} \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k*2^k} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} n=2^k \end{eqnarray*}$ und als $\begin{eqnarray*} 0.5^n \end{eqnarray*}$ sonst.
Mit dem Majorantenkriterium kann man die Konvergenz der Reihe über diese Folge beweisen, wenn man aber die Reihe über $\begin{eqnarray*} 2^k*a_{2^k} \end{eqnarray*}$ betrachtet, divergiert diese, weil man aufgrund der Definition der $\begin{eqnarray*} a_{2^k} \end{eqnarray*}$ die harmonische Reihe erhält.

28.12.2011, 09:51

Elvis

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Das Gegenbeispiel gefällt mir. Die konvergente Majorante $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {2^k} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich, du solltest sie trotzdem erwähnen.

28.12.2011, 14:01

500 Miles

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Werde ich, und danke. smile

28.12.2011, 20:51

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Zitat:

Original von Elvis
Das Gegenbeispiel gefällt mir. Die konvergente Majorante $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {2^k} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich, du solltest sie trotzdem erwähnen.

Hm aber ist diese denn nicht kleiner als die Reihe von "500 Miles", weil die 1/(k*(2^k)) zwischendrin immer etwas größer sind?

Noch eine Frage: Wenn man bei den konstruierten a(n) in der Reihe von "500 Miles" das k im Nenner weglässt (also a(n)=1/2^k für n=2^k), dann könnte man die Konvergenz der entstehenden Reihe vielleicht mit dem Umordnungssatz zeigen, da $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 {2^k} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, oder?

29.12.2011, 10:34

Elvis

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$\begin{eqnarray*} k>1\Rightarrow \frac 1 k <1 \Rightarrow \frac 1 {k2^k} < \frac 1 {2^k} \end{eqnarray*}$ , deshalb ist das Gegenbeispiel von "500 Miles" richtig gut.

"Noch eine Frage" geht am Wesentlichen vorbei, denn bei dieser Reihe funktioniert das Cauchy Verdichtungskriterum, weil die a_n monoton fallen.

29.12.2011, 11:20

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Also ich hab das eigentlich so verstanden (zur Reihe von "500 Miles"):
z.B.

$\begin{eqnarray*} a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{8}+...= \frac{1}{1\cdot 2^{1} }+ \frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2\cdot 2^{2} }+ \frac{1}{2^{5}}+...+\frac{1}{3\cdot 2^{3} }+... \end{eqnarray*}$

,weil 2=2^1, 4=2², 8=2³ ,...ist.

Die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k}} \end{eqnarray*}$

ist hier doch bei a2, a4, a8,... immer kleiner oder?
z.B. bei a8:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{8} } < \frac{1}{3\cdot 2^{3} } \end{eqnarray*}$

Bei "meiner Variante" fehlt im Nenner von a2,a4,a8,... der Faktor 1,2,3,..., sodass die a(n) ebenso unmonoton sind. Cauchy liefert bei mir
a(2^k)*2^k = 1/(2^k) * 2^k = 1; die Reihe über 1 divergiert. Trotzdem scheint meine Reihe ja konvergent zu sein, da die 1/ 2^k mit k als Zweierpotenz immer etwas "verspätet" auftreten, und die 1/ 2^k mit k ungleich Zweierpotenz treten doppelt auf.

30.12.2011, 21:04

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ok also das Problem mit der Majorante lässt sich natürlich beheben, indem man zu der einfach eine endliche Konstante dazuaddiert oder multipliziert (mal 2 dürfte reichen).

Aber warum mein Reihenvorschlag nicht funktioniert, würde mich trotzdem noch interessieren.

03.01.2012, 14:13

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falls jemand per Forensuche auf das Thema stößt: Meine Reihe ist doch richtig (habe hier gefragt http://www.matheplanet.de/matheplanet/nu...hp?topic=163279)

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