Grenzwert berechnen

27.12.2011, 16:39

Teilmengenmännchen

Grenzwert berechnen

Hi
Problem:
Konvergiert die Folge:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ (n-> + unendlich) mit
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (n+1)^{1/3}-(n)^{1/3} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung
Durch Binomische Sätze (für a^3-b^3=...) bekomm ich dann:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{((n + 1)^{2/3} + (n (n + 1))^{1/3} + n^{2/3}}<br /> \end{eqnarray*}$
Als nächstes hab ich versucht mit Einschließungskriterium zu arbeiten also
$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{((n)^{1/3}+(n)^{1/3}+(n)^{1/3})} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3*(n)^{1/3}} \end{eqnarray*}$ -> 0 für n gegen unendlich

$\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{((n^3)^{1/3}+(n^3)^{1/3}+(n^3)^{1/3}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3*n)} \end{eqnarray*}$ -> 0 für n gegen unendlich

Deswegen geht $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ auch gegen 0

Wäre das so richtig? muss ich zeigen, dass bn und cn kleiner gleich, größer gleich an sind?
Grüße

28.12.2011, 01:32

Teilmengenmännchen

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Ist das so korrekt? oder gibt's da ein anderen/besseren Ansatz

28.12.2011, 08:36

klarsoweit

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RE: Grenzwert berechnen
Der Ansatz ist prinzipiell ok, aber mit deiner Ungleichungskette

Zitat:

Original von Teilmengenmännchen
Als nächstes hab ich versucht mit Einschließungskriterium zu arbeiten also
$\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ <= $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$

stimmt was nicht, denn es ist $\begin{eqnarray*} b_1 = c_1 = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ . Dann müßte aber auch $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ sein, was aber offensichtlich falsch ist.

28.12.2011, 18:15

Teilmengenmännchen

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und wenn ich zu b_n noch 1/n abziehe und bei c_n 1/n drauf addiere? dann müsste das doch klappen?

29.12.2011, 08:26

klarsoweit

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RE: Grenzwert berechnen
Prinzipiell wäre das möglich, aber du mußt auch die Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} b_n \leq a_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ beweisen, und dazu scheinen mir andere Abschätzungen geeigneter zu sein.

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