Mehrdimensionale Kettenregel

28.12.2011, 12:50

mathe09

Mehrdimensionale Kettenregel

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R ^{3} -> \mathbb R ^{3}: \begin{pmatrix} r \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} r\cdot cos\beta \cdot cos\gamma \\ r\cdot sin\beta cos\gamma \\ r\cdot sin \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{3} -> \mathbb R : \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} -> x^{2} +y^{2}+z^{2} \end{eqnarray*}$

Berechne die Ablleitung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\pi }{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einmal mit Hilfe der Kettenregel und einmal ohne diese.

Meine Ideen:
Ohne die Kettenregel habe ich zuerst die beiden Funktionen verknüpft, sodass sich die jeweiligen cos² und sin² herausgekürzt haben. Am Ende stand dann dort: $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ = r². Davon die Ableitung: 2r, 1 eingesetzt und es kam 2 heraus.

Im Skript steht, dass die Kettenregel so lautet: $\begin{eqnarray*} D( \alpha \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} f)=Df(\alpha(a)) \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} D \alpha(a) \end{eqnarray*}$ . Aber wenn ich das so mache steht am Schluss bei mir: (2*0+2*0+2*1) 0 (-1,0,1) . Wie verknüpft man denn eine Zahl mit einem Vektor? Einfach multiplizieren kann es ja nicht sein, weil ein Skalar herauskommen muss.
Ich habe mir gedacht, dass man vielleicht einfach den Vektor anwendet, was letztendlich aber ja keinen Unterschied macht und deswegen dort auch 2 herauskommt. Aber das kommt mir seltsam vor, weil man dann den 2. Teil der Kettenregel auch einfach lassen könnte...

28.12.2011, 13:03

mathe09

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edit; ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

28.12.2011, 13:09

klarsoweit

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Ohne daß du Details deiner Rechnung postest, kann man dazu leider nichts sagen. traurig

02.01.2012, 18:10

mathe09

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Sry, dass ich mich erst jetzt wieder melde.

Ok, also meine Rechnung geht so:

ohne Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} fo\alpha :\begin{pmatrix} r \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} -> r^{2}cos^{2}\beta cos^{2}\gamma +r^{2}sin^{2}\beta cos^{2}\gamma + r^{2}sin^{2}\gamma = r^{2}[cos^{2}\gamma (cos^{2}\beta +sin^{2}\beta )+sin^{2}\gamma ] = r² \end{eqnarray*}$

Nun r² ableiten und die 1 aus a eingesetzt, also 2.

Nun mit der Kettenregel:

D( $\begin{eqnarray*} f o \alpha \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} Df(\alpha (a))oD\alpha(a) = Df\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} o D \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \pi/2 \end{pmatrix} = (2*0+2*0+2*1) o \begin{pmatrix} cos(0)cos (\pi /2) - 1*sin(0)*cos( \pi/2) -r*cos(0)sin(\pi/2) \\ sin(0)cos(\pi/2)+1*cos(0)cos(\pi/2)-1*sin(0)sin(\pi/2) \\ sin(\pi/2)+1*cos(\pi/2) \end{pmatrix} = 2 o \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab garantiert irgendwas falsch gemacht traurig

03.01.2012, 08:20

klarsoweit

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Da geht bei dir etwas durcheinander.

Zitat:

Original von mathe09
$\begin{eqnarray*} fo\alpha :\begin{pmatrix} r \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} -> r^{2}cos^{2}\beta cos^{2}\gamma +r^{2}sin^{2}\beta cos^{2}\gamma + r^{2}sin^{2}\gamma = r^{2}[cos^{2}\gamma (cos^{2}\beta +sin^{2}\beta )+sin^{2}\gamma ] = r² \end{eqnarray*}$

Nun r² ableiten und die 1 aus a eingesetzt, also 2.

Du mußt das r² nach r, beta und gamma ableiten, so daß du eine 1x3-Matrix erhältst.

Bei der anderen Rechnung solltest du erstmal sauber $\begin{eqnarray*} Df \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} D \alpha \end{eqnarray*}$ bilden.

04.01.2012, 10:40

mathe09

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Also:

$\begin{eqnarray*} D \alpha= \begin{pmatrix} cos \beta cos\gamma - r\cdot sin\beta cos\gamma - r\cdot cos \beta sin\gamma \\ sin \beta cos\gamma + r\cdot cos \beta cos \gamma - r\cdot sin \beta sin \gamma \\ sin \gamma + r\cdot cos \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Df= 2x+2y+2z \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun oben den Punkt a=(1,0,pi/2) einsetze kommt ja (-1,0,1) heraus. Hab ich falsch abgeleitet?

In Df muss ich den Punkt b=(0,0,1) einsetzen. Dehalb kommt da 2 heraus

04.01.2012, 10:48

mathe09

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edit: ach ja ich merke gerade, dass ich schwachsinn gemacht habe. Wenn man Df bildet kommt ja eine 1x3 Matrix und D alpha eine 3x3 Matrix heraus...

04.01.2012, 11:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe09
edit: ach ja ich merke gerade, dass ich schwachsinn gemacht habe. Wenn man Df bildet kommt ja eine 1x3 Matrix und D alpha eine 3x3 Matrix heraus...

Richtig.

04.01.2012, 12:00

Roonex

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Habe die gleiche Aufgabe.

Die Lösung $\begin{eqnarray*} Dfo\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\pi}{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ müsste eigentlich richtig sein, hab es jedenfalls sowohl mit Kettenregel als auch ohne rausbekommen.

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