Äquivalenz von Kategorien

28.12.2011, 12:52	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Kategorien Hi @ all, Ich möchte zeigen, dass die Kategorien der vollständigen atomaren Booleschen Algebren mit den Homomorphismen und die Kategorie der Mengen mit den Abbildungen koäquivalent sind. Dazu betrachte ich den Potenzmengenfunktor, ich habe bereits gezeigt, dass, wenn A,B beliebige Mengen sind und f:A -->B eine Abbildung, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} f^ : P(B) \to P(A) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^(x)=\left\{a \in A:f(a) \in x\right\} \end{eqnarray}$ ein Boolescher Homomorphismus ist. Der Funktor auf den Objekten ist auch klar, ich ordne jeder Menge ihre Potenzmenge zu und jeder Potenzmenge die Vereinigung der einelementigen Teilmengen. Was mir Probleme bereitet ist der Funtor auf den Booleschen Homomorphismen: Ist $\begin{eqnarray} g: P(X) \to P(Y) \end{eqnarray}$ ein Boolescher Homomorphismus, wie sieht dann meine Abbildung $\begin{eqnarray} g^:Y \to X \end{eqnarray*}$ aus?
29.12.2011, 00:03	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Was passiert wenn du $\begin{eqnarray} g^(y) = x \in \bigcap \{ A \vert y \in g(A) \} \end{eqnarray*}$ wählst?
29.12.2011, 10:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön. sollte klappen. Sei also g:B-->C ein Boolescher Hom, dann ist $\begin{eqnarray} g^:At~C \to At~B,~g^(c)=\bigwedge\{b \in B:c \leq g(b)\} \end{eqnarray}$ , Super, war gar nicht so schwer und hätte man auch selbst drauf kommen können. Danke noch mal.

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