Optimierungsproblem |
| 28.12.2011, 15:31 | mathenoobie | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Optimierungsproblem Hi, hoffe mir kann jemand bei folgendem Optimierungsproblem helfen 
: Gesucht sind sämtliche kritischen Punkte, es soll dabei die Variablensubstitution verwendet werden und dann soll noch nachgewiesen werden, dass die gefundene Kombination den Nutzen auch wirklich maximiert. Folgende Aufgabe: - Budget von 1280 - Nutzenfunktion = x1*x2 - x1 = 16 - x2 = 32 Meine Ideen: Hieraus stelle ich die Zielfunktion auf: Zielfunktion: Max f(x1,x2): 16x1 * 32x2 Nebenbedingung: 16x1 * 32x2 = 1280 Dann habe ich erstmal die Nebenbedingung nach x1 umstellt: x1= 40/x2 und dann diese in der Zielfunktion ersetzt: Max f (x2) = 16*(40/x2)* 32x2 hier stehe ich jetzt vor dem Problem, dass wenn ich diese Funktion jetzt berechne, dass x2 wegfällt und 640*32 = 20480 Wie kann ich weiterrechnen? wurde vorher schon ein Fehler gemacht ? Danke für eine Antwort =) |
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| 28.12.2011, 17:36 | mathenoobie | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah ich hab wohl folgende fehler gemacht: zielfunktion lautet x1*x2 und nebenbedingung: 16x1 + 32x2 = 1280 Nach x1 umstellen, dann in Zielfunktion einsetzen, dann ableiten, dann kommt folgendes raus: x1 = 40 x2 = 20 Wie kann ich beweisen, dass dies wirklich die optimale Variante ist ? thx |
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| 30.12.2011, 00:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Durch das Nullsetzen der 1. Ableitung werden bereits die (alle) in Frage kommenden (relativen) Extremstellen berechnet. Mittels Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung erfährt man durch das Vorzeichen dieses Resultates die Art des Extremums, Max (<0) oder Min (>0). Was ergibt sich nun bei deinem Beispiel? mY+ |
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| 30.12.2011, 12:57 | mathenoobie | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke habs `
ist ein Maxpunkt, wie es auch sein soll. Beweis hab ich dann mit Lagrange gemacht , thx |
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| 30.12.2011, 13:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Konventionell (ohne Lagrange): f(x) = 40x - x² f '(x) = 40 - 2x f ''(x) = -2 <0 .. Max. mY+ |
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