Maßtheorie, Caratheodory-Fortsetzung

29.12.2011, 01:44	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßtheorie, Caratheodory-Fortsetzung Hallo, wenn mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen könnte. Sei Lambda ein Sigma-Additiver Inhalt auf dem Ring R und Mu die Caratheodory-Fortsetzung von Lambda Zu zeigen: $\begin{eqnarray} A \in \mathbb \sigma(R), \; \mu(A) < \infty \Rightarrow \exists \; R_1,\ldots,R_n \in R \; \mbox{disjunkt}: \mu(A\Delta\cup_{i=1}^{n}R_i)<\epsilon \end{eqnarray}$ für beliebieges Epsilon größer Null (Für alle Fälle noch zur Notation: Sigma(R) sei die kleinste Sigma-Algebra die R enthält und mit Delta ist die symmetrische Mengendifferenz gemeint) Meine Ideen: Zunächst hab ich den (einfachen) Fall abgehandelt, dass A bereits in R liegt. Dann kann man ja seine R_i's wie folgt definieren $\begin{eqnarray} R_1=A, R_2=\ldots=R_n=\emptyset \end{eqnarray}$ und die Behauptung lässt sich quasi direkt ablesen, da die symmetrische Mengendifferenz hier gerade der leeren Menge entspricht. Betrachten wir also den Fall das A nicht in R selber liegt. Hier hab ich schon meine erste Unsicherheit drin. Kann ich dann bereits davon ausgehen, dass sich A wie folgt darstellen lässt? $\begin{eqnarray} A = \cup_{i\in\mathbb N} R_i, \; R_i \in R \end{eqnarray}$ (Der Ring R unterscheidet sich von der Sigma-Algebra Sigma(R) ja zunächst nur dadurch, dass unendliche Vereinigungen nicht mehr im Ring enthalten sein müssen, bei der Sigma-Algebra schon.) Falls das überhaupt so geht, wäre mein nächster Schritt gewesen folgendes zu definieren: $\begin{eqnarray} R_1=A_1, R_k=A_k \; ohne \; (\cup_{i=1}^{k-1}A_i) \end{eqnarray}$ um die R_i's disjunkt zu bekommen. (Das ohne hab ich einfach mal ausgeschrieben, weil Latex '\' ja anderwertig interpretiert) Vielleicht stopp ich hier aber mal fürs erste und ihr sagt mir, ob ich überhaupt einigermaßen auf dem richtigen Weg bin.
29.12.2011, 08:33	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maßtheorie, Caratheodory-Fortsetzung hallo kimi_r, eine kleine nebenbemerkung: das "ohne"-zeichen für mengen geht hier mit "\setminus". Bei deinem eigentlichen problem kann ich dir leider nicht helfen, da müsste ich mich erst einarbeiten. gruss ollie3
29.12.2011, 16:21	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so wie ich die Definitionen kenne stimme ich dir zu wobei du bei deiner letzten Definition neue Buchstaben benutzen solltest, immerhin hättest du ja die R_j vorgegeben und willst dann neue sagen wir A_j oder so basteln. mfg

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