substitution Dgl 2. Ordnung

29.12.2011, 12:17

freazer

substitution Dgl 2. Ordnung

Meine Frage:
Hallo,
habe folgendes Problem
y"=(1-y^4)/y^3
Wie löse ich diese Aufgabe?!

Meine Ideen:
u´=(1-y^4)/y^3

u´=du/dx das hilft mir hier nicht, oder?!
darf man u´=du/dy schreiben?!(gestern Nacht sagte man bei einer anderen Aufgabe das dürfe man nicht)

kann man die y´s irgendwie weg Substituieren?
Danke für eure Antworten.

29.12.2011, 13:17

freazer

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RE: substitution Dgl 2. Ordnung
Hat keiner eine Idee?? traurig

Aufgaben wo nur Ableitungen vorkommen kann ich aber nur y stört.

zb
y"+y´^6=1
u´+u^6=1
u´=1-u^6
du/dx= 1 - u^6

aber würde da jetzt
y" + y^6= 1 stehen
was nun???
u´=1-y^6

du/dx kanns jetzt doch nicht mehr sein,oder???!!

Bitte helft mir Tanzen

29.12.2011, 13:42

Leopold

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Wenn man die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ multipliziert und integriert, erhält man

$\begin{eqnarray*} y'^{\, 2} = 2a - y^2 - y^{-2} \ \ \text{mit} \ a>0 \ \text{konstant} \end{eqnarray*}$

Definiert man $\begin{eqnarray*} u = y^2 - a \end{eqnarray*}$ , so folgt hieraus eine Differentialgleichung für $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , nämlich

$\begin{eqnarray*} u'^{\, 2} = 4 \left( b^2 - u^2 \right) \end{eqnarray*}$

Zur Abkürzung wurde $\begin{eqnarray*} b^2 = a^2 - 1 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Sinnvoll sind also nur Werte $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ .

29.12.2011, 13:53

freazer

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wenn ich das multipliziere wird das y´y" = (y´/y^3)- yy´
das wäre dann uu´=(u/y^3)-yu und dann integrieren ?!
Ich denke das ich das multiplizieren mit y´ falsch mache, oder?

29.12.2011, 14:00

Leopold

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Und die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y' y'' = y^{-3}y' - yy' \end{eqnarray*}$

sollst du erst integrieren.

29.12.2011, 14:05

freazer

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das ist mein Problem, Integrieren wenn da y" steht
das y" muß man doch substituieren und in eine Dgl 1 Ordnung umwandeln.
oder liege ich da falsch?!

29.12.2011, 14:12

Leopold

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Da kommt man durch Nachdenken drauf. Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left( y'^{\, 2 }\right) = 2y'y'' \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} y'' \end{eqnarray*}$ kommt vom Nachdifferenzieren nach der Kettenregel, die Quadratfunktion ist die äußere Funktion, $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ die innere Funktion.

29.12.2011, 14:12

freazer

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ok.
Werde mich später damit beschäftigen muß einmal schnell zum Arzt Termin.
Vielen lieben Dank schon mal.
Ich hoffe ich komme nachher drauf.

29.12.2011, 14:20

Leopold

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Zitat:

Original von freazer
oder wäre der Ansatz mit Lamda richtig?!

Was damit gemeint sein soll, weiß ich nicht. Also kann ich dir die Frage nicht beantworten. Mein Lösungsvorschlag ist ein ad-hoc-Ansatz. Er folgt keinem handelsüblichen Lösungsschematismus außer der Beobachtung, daß eine Differentialgleichung der Gestalt

$\begin{eqnarray*} y'' = f(y) \end{eqnarray*}$

nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ integriert werden kann. Ist nämlich $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so gilt gemäß Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \left( F(y) \right) = F'(y) \cdot y' = f(y) \cdot y' \end{eqnarray*}$

29.12.2011, 18:37

freazer

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Ertmal danke schön Leopold,
ich bin denke ich schon etwas schlauer geworden
nur wo kommt das 2a her???
siehe unten:

$\begin{eqnarray*} y'^{\, 2} = 2a - y^2 - y^{-2} \ \ \text{mit} \ a>0 \ \text{konstant} \end{eqnarray*}$

y´^2 = 2y´y"

y^2 = 2 y y´

y^-2 = (-2y^-3)y´

da bekomme ich dann

y´^2 =-y^-2 -y^2 heraus aber ohne 2a

kann mir jemand sagen wo das 2a herkommt???
(Leopold ist leider offline)

29.12.2011, 18:39

freazer

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oder soll 2a =2 mal die Konstante sein?!

29.12.2011, 18:50

Leopold

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Das ist ein ziemliches Durcheinander. Nehmen wir den Strich zur Bezeichnung der Ableitung nach der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so muß es z.B.

$\begin{eqnarray*} \left( y'^{\, 2} \right)' = 2y'y'' \end{eqnarray*}$

heißen. Wie auch immer, aus

$\begin{eqnarray*} y'y'' = y^{-3} y' - yy' \end{eqnarray*}$

wird durch Integration

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} y'^{\, 2} = a - \frac{1}{2} y^{-2} - \frac{1}{2} y^2 \end{eqnarray*}$

Und das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist die Integrationskonstante. Wäre $\begin{eqnarray*} a \leq 0 \end{eqnarray*}$ , bekäme man einen Widerspruch, denn die linke Seite der Gleichung ist stets $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , die rechte wäre aber $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ . Daher muß $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ sein.

29.12.2011, 19:04

freazer

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sorry ich komme mit dem Formeleditor nicht klar.
Hab den Schritt jetzt aber verstanden.
Ich kenne die Integrationskonstante nur als c deshalb war ich etwas irritiert,aber ist jetzt klar.Man kann ja schließlich jeden beliebigen Buchstaben wählen.

Jetzt Rätzel ich wie du auf
die Substitution u kommst.
Aber ich grübbel noch ein wenig, vielleicht komme ich ja drauf.
Aber bis hierhin Super dank.
Jetzt weiß ich zumindest schon mal wie man diese Aufgaben angeht.

29.12.2011, 19:38

freazer

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Definiert man $\begin{eqnarray*} u = y^2 - a \end{eqnarray*}$ , so folgt hieraus eine Differentialgleichung für $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , nämlich

$\begin{eqnarray*} u'^{\, 2} = 4 \left( b^2 - u^2 \right) \end{eqnarray*}$

Ich komme nicht drauf.
Kann man das so sehen oder gibt es da ein Verfahren wie zb bei Bernouli-Dgl´s,
wo man eine Formel u=y(x)^(1-n) anwendet.

29.12.2011, 20:20

freazer

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rechne schon wieder 2Std hieran
$\begin{eqnarray*} u = y^2 - a \end{eqnarray*}$
und verstehe überhaupt nicht wie man das sehen kann

ich kenne Substitutionen nur so
y´=(4y-2) /(4y+2)
das wäre
y´= u/(u+4) mit u=4y-2 dann nach y umstellen ,ableiten und für y´einsetzen.

Ich denke ich riskiere in der Klausur Mut zur Lücke.
Wenn mir aber das oben doch noch irgend jemand mit einfachen Worten begreiflich machen kann,wäre das toll.

30.12.2011, 10:34

freazer

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Das ist die Urprungsaufgabe und ich verstehe nicht wie warum man u=y^2-c wählt.
Habe a in c geändert weil ich die Konstante immer als c bezeichne.
Danke für eure Hilfe smile

30.12.2011, 11:46

Leopold

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Da ist kein Geheimnis dabei. Ich habe die Gleichung formal nach $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ aufgelöst. Um das Vorzeichen der Wurzel habe ich mich erst einmal nicht gekümmert. Dann wie üblich die Trennung der Variablen. Dabei stößt man auf das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\dd y}{\sqrt{2a - y^2 - y^{-2}}} = \int \frac{y}{\sqrt{-y^4 + 2ay^2 - 1}} ~ \dd y = \int \frac{y}{\sqrt{a^2 - 1 - \left( y^2 - a \right)^2}} ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Und hier sieht man, daß man mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u = y^2 - a \end{eqnarray*}$ weiterkommt. Jetzt der Gedanke, diese Substitution vor der ganzen Auflöserei auszuführen, um dem Ärger mit der Nichteindeutigkeit beim Wurzelziehen fürs erste zu entgehen. Darum kannst du dich dann ja kümmern.

Die Rechnung kann man so anstellen: Aus $\begin{eqnarray*} u = y^2 - a \end{eqnarray*}$ entsteht durch Differenzieren und anschließendes Quadrieren

$\begin{eqnarray*} u'^{\, 2} = 4 y^2 y'^{\, 2} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt man für $\begin{eqnarray*} y'^{\, 2} \end{eqnarray*}$ den Term aus der Differentialgleichung, also $\begin{eqnarray*} 2a - \frac{1}{y^2} - y^2 \end{eqnarray*}$ , ein und ersetzt anschließend überall, wo es auftritt, $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u+a \end{eqnarray*}$ . Dann noch ein bißchen umformen, und fertig ist das Ganze:

$\begin{eqnarray*} u'^{\, 2} = 4 \left( a^2 - 1 - u^2 \right) \end{eqnarray*}$

Man erkennt hieran auch, daß nur Konstanten $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll sind.

30.12.2011, 12:11

freazer

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Vielen Dank.Da wäre ich nie drauf gekommen.Ich rechne jetzt erstmal weiter.Ich denke jetzt sollte ich es hin kriegen sonst melde ich mich.
Dir und deiner Familie einen guten Rutsch und ein tolles Jahr 2012 smile

30.12.2011, 13:22

freazer

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Ich schon wieder unglücklich

hab schon ein richtig schlechtes Gewissen....
Eine kleine Frage noch..

Habe das soweit alles verstanden und nach vollzogen
Jetzt stehe ich vor dem Integral

$\begin{eqnarray*} frac{1}{2}\int_^ \! \frac{1}{b-u^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
nicht.
wenn das nichts wird mit dem editor, hier nochmal

1/2 Integ.(1/(wurzel(b-u^2)))

kenne das nur wenn im Bruch zb u-1 steht, darf das b da stehen weil da ja auch die Integrationskonstante steckt.
Habe im Papular Integraltafel gesucht aber nur Integrale mit( b^2 -u^2 ) im nenner
gefunden.

30.12.2011, 13:56

Leopold

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In der Integraltafel steht deshalb $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , damit niemand auf den Gedanken kommt, für diese Konstante etwas Negatives zu nehmen. Zudem schreibt sich dann auch das Integralergebnis schöner. Im übrigen hatte ich selbst ja auch

$\begin{eqnarray*} b^2 = a^2 - 1 \end{eqnarray*}$

vorgeschlagen.

Beachte auch, daß unsere Umformungen teilweise keine Äquivalenzumformungen waren. Du mußt daher alle möglichen Ergebnisse überprüfen, ob sie tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind.

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