Stetigkeit einer Funktion

29.12.2011, 12:38

steviehawk

Stetigkeit einer Funktion

Meine Frage:
Hey Leute ich soll zeigen oder widerlgen, dass

jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \cup \left\{ 2\right\} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist in x = 2

Meine Ideen:
Also ich geh mal davon aus, dass die Funktion f nicht stetig in jedem Punkt ist, denn man kann sie ja sicher nicht ohne absetzten des Stiftes zeichnen, mal unmathematisch ausgedrückt, da zwischen 1 und 2 kein Definitionsbereich existiert!

Aber die Funktion kann ja dennoch in 2 stetig sein oder?

Kann ich da mit dem Epsilon - Delta Kriterium argumentieren??

Danke für die Hilfe schon Mal!

29.12.2011, 13:07

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Also wenn man sich mal die Definition der Stetigkeit anschaut, dann sollte man erkennen, daß die Funktion stetig ist. smile

29.12.2011, 13:21

steviehawk

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RE: Stetigkeit einer Funktion
mhh das soll also bereits aus der Definition für Stetigkeit folgen?

Also muss es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ geben, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} | x -2 | < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

so die Bilder f(x) und f(2) können ja wer weiß wie aussehen, wie kann ich denn da einen Beweise führen?

29.12.2011, 13:31

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} | x -2 | < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Genau genommen heißt es:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb D \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | x -2 | < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da kannst du ganz bequem delta = 1/2 wählen. Augenzwinkern

29.12.2011, 13:39

steviehawk

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RE: Stetigkeit einer Funktion
ich dachte Delta müsse von Epsilon abhängen?

29.12.2011, 14:01

Leopold

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von steviehawk
... müsse ...

Dürfen, nicht müssen!

29.12.2011, 17:47

steviehawk

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Also ich habe es noch nicht verstanden:

Wenn ich mir auf der X achse mal rot makiere, was überhaupt im Definitionsbereich liegt, dann mal ich den Teil von 0 - 1 rot und mache bei 2 einen roten Punkt. So wenn ich jetzt mal den Punkt bei 2 betrachte und eine Deltaumgebung von 1/2 betrachte, dann liegt da ja überhaupt kein anderes x mehr drin!

Ist das gerade der Witz an der Sache?

30.12.2011, 08:20

klarsoweit

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Genau. Augenzwinkern

04.01.2012, 17:16

steviehawk

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Also ich verstehe das noch nicht 100%ig!

Wenn in der Deltaumgebung 1/2 gar kein x aus D mehr drin liegt, was macht dann die Aussage:

$\begin{eqnarray*} |x - 2|< \delta \end{eqnarray*}$ für einen Sinn?

es gibt ja in dieser Umgebung nur ein x und das ist die 2 selber! Und 2 - 2 = 0 ist sicher < 1/2 ,

also ist dann $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(2) | < \epsilon \end{eqnarray*}$ weil ja f(x) quasi auch f(2) ist oder wie? Und dann wieder 0 da steht?

Vielleicht kann mir das noch mal jemand ausführlicher sagen!

Was ist denn mein f(x) wenn x garnicht im Definitionsbreich liegt?

04.01.2012, 21:54

juffo-wup

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von steviehawk
Vielleicht kann mir das noch mal jemand ausführlicher sagen!

Aber du hast eigentlich schon alles gesagt. Es steckt nicht mehr dahinter, nur eine Definitionssache, keine große Erkenntnis hier zu gewinnen. Augenzwinkern

Zitat:

Was ist denn mein f(x) wenn x garnicht im Definitionsbreich liegt?

Es gibt kein f(x) für x nicht aus dem Definitionsbereich von f. Das ist die Definition von "Definitionsbereich".

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