Was ist eine Spannmenge?

12.01.2007, 16:10

schrawenzel

Was ist eine Spannmenge?

Hallo!

Ich habe eine Frage, die ich auch nicht mit google oder hier mit der "Suche"-Funktion beantwortet bekomme.

Ich kann mir unter einer Spannmenge nichts vorstellen, die Definition ist wie folgt:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und sei S eine Teilmenge von K. Die Menge <S> $\begin{eqnarray*} ^1 \end{eqnarray*}$ der Linearkombination von Elementen von S heißt der von S aufgespannte Teilvektorraum, geschrieben span(S) oder auch die lineare Hülle von S. S heißt die Spannmenge von <S>=span(S).

1: <S> ist der kleinste Teilraum von V, der S enthält.

Ich kann mir darunter leider gar nichts vorstellen, kann mir jemand weiterhelfen?

Wär echt super!

Danke, schrawenzel

12.01.2007, 16:36

Leopold

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Nehmen wir ein Beispiel, das man sich noch gut vorstellen kann, den dreidimensionalen reellen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Elemente dieses Raumes sind reelle Tripel $\begin{eqnarray*} \left( x_1 , x_2 , x_3 \right) \end{eqnarray*}$ . Jedes solche Tripel kann man sich als Punkt mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ vorstellen. Man kann es sich aber auch als Vektor vorstellen, indem man einen den Vektor repräsentierenden Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt zeichnet. Man identifiziert in diesem Sinne die Punkte mit ihren Ortsvektoren.

dreidimensionale Unterräume:
Davon gibt es nur einen, nämlich den ganzen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ selbst.

zweidimensionale Unterräume:
Davon gibt es unendlich viele. Es sind die Ebenen, die den Ursprung enthalten.

eindimensionale Unterräume:
Davon gibt es unendlich viele. Es sind die Geraden, die den Ursprung enthalten.

nulldimensionale Unterräume:
Davon gibt es nur einen, nämlich den Nullraum $\begin{eqnarray*} \left\{ (0,0,0) \right\} \end{eqnarray*}$ .

Beispiel 1
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 2
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 3
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (2,4,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 4
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,9) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 5
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

12.01.2007, 16:44

schrawenzel

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Zitat:

Original von Leopold
dreidimensionale Unterräume:
Davon gibt es nur einen, nämlich den ganzen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ selbst.

zweidimensionale Unterräume:
Davon gibt es unendlich viele. Es sind die Ebenen, die den Ursprung enthalten.

eindimensionale Unterräume:
Davon gibt es unendlich viele. Es sind die Geraden, die den Ursprung enthalten.

nulldimensionale Unterräume:
Davon gibt es nur einen, nämlich den Nullraum $\begin{eqnarray*} \left\{ (0,0,0) \right\} \end{eqnarray*}$ .

Danke für die gute Erklärung! Wenn das mein Prof nur auch mal so anschaulich sagen könnte und nicht gleich immer in Dimensionen eintauchen würde, die man sich eh nicht mehr vorstellen kann^^

Zitat:

Original von Leopold
Beispiel 1
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 2
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 3
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (2,4,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 4
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,9) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 5
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Und wie groß muss die Spannmenge hier sein? Also ich würd mal - aber rein geraten - sagen, dass es überall der Nullraum $\begin{eqnarray*} \left\{ (0,0,0) \right\} \end{eqnarray*}$ sein muss, weil es ja auch der kleinste Unterraum ist, der existiert. Aber das ist sicher viel zu trivial.....

12.01.2007, 16:49

Leopold

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Der Nullraum ist der kleinste Unterraum. Aber er ist nicht der kleinste Unterraum, der das jeweilige $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält.

12.01.2007, 17:05

schrawenzel

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Zitat:

Original von Leopold
Der Nullraum ist der kleinste Unterraum. Aber er ist nicht der kleinste Unterraum, der das jeweilige $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält.

Hm, okay, ich versuchs mal bei der ersten Aufgabe, weil ich nicht alle auf einmal falsch machen will...

Zitat:

Also ich seh Beispiel 1 als Vektor an. Nun brauch ich aber die Gerade die durch den Ursprung geht und auch durch den Punkt (1,2,3). Da muss ja dann bildlich vorgestellt, der Vektor auch draufliegen... Hm, nur wie ich das hinschreib, das ist die Frage. Meiner Meinung nach müsste $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle = \left\{ (1,2,3) \right\} \end{eqnarray*}$ richtig sein.... Aber sicher bin ich mir nicht verwirrt

12.01.2007, 17:09

Leopold

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Zitat:

Original von schrawenzel
Nun brauch ich aber die Gerade die durch den Ursprung geht und auch durch den Punkt (1,2,3).

So ist's. Diese Gerade ist hier der Spann. Und laut Definition ist $\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3) \rangle \end{eqnarray*}$ gerade die Schreibweise für diese Gerade. Ausführlich kann man das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3) \rangle = \left\{ \lambda (1,2,3) \, \left| \, \lambda \in \mathbb{R} \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Es sind eben gerade die Linearkombinationen, die man aus diesem einen Vektor bilden kann.

12.01.2007, 17:20

schrawenzel

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Zitat:

Original von Leopold
Beispiel 2
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 3
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (2,4,6) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 4
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,9) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

Beispiel 5
$\begin{eqnarray*} S = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthält?

*freu*

Dann mach ich gleich noch die anderen Aufgaben:

Beispiel 2:
Das wär ja dann eine Ebene, die durch die beiden Punkte gehen muss, hier wär ja dann wieder - wie bei Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3), (4,5,6) \rangle \end{eqnarray*}$

Beispiel 3:
Bei Beispiel 3 sind die Vektoren linear abhängig, d.h. dass das Beispiel die gleiche Spannmenge wie Beispiel 1 haben müsste, also

$\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3) \rangle \end{eqnarray*}$

Beispiel 4:
Hier sind die Vektoren so gestellt, dass man den einen aus den anderen 2 durch Addition bekommt., d.h. die müssten wieder alle 3 auf einer Ebene liegen.

$\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3), (4,5,6) \rangle \end{eqnarray*}$

Beispiel 5:
Hier sind die Vektoren wieder linear unabhängig, so dass man schauen muss, ob die überhaupt alle 3 auf einer Ebene liegen und diese dann auch noch durch den Ursprung geht.
Macht man das dann mit nem Gls, oder?

12.01.2007, 17:29

Leopold

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Bei Beispiel 5 mußt du nach irgendeinem dir bekannten Verfahren prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Sind sie es (was hier der Fall ist), so spannen sie den ganzen dreidimensionalen Raum auf. Sie bilden eine Basis dieses Raumes.

Bei Beispiel 2 ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zugleich eine Basis seines Spanns.
Bei Beispiel 3 ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dagegen keine Basis seines Spanns, wie von dir richtig erkannt wurde. Denn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente, $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ ist dagegen nur eindimensional.
Und auch Beispiel 4 stimmt: dreielementiger Spann, aber nur zweielementige Basis.

12.01.2007, 17:32

schrawenzel

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Zitat:

Original von Leopold
Bei Beispiel 5 mußt du nach irgendeinem dir bekannten Verfahren prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Sind sie es (was hier der Fall ist), so spannen sie den ganzen dreidimensionalen Raum auf. Sie bilden eine Basis dieses Raumes.

Also ist bei Beispiel 5 einfach nur

$\begin{eqnarray*} <S> = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\} \end{eqnarray*}$
Was ist hier $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$

die Lösung?

Zitat:

Original von Leopold
Bei Beispiel 2 ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zugleich eine Basis seines Spanns.
Bei Beispiel 3 ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dagegen keine Basis seines Spanns, wie von dir richtig erkannt wurde. Denn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente, $\begin{eqnarray*} \langle S \rangle \end{eqnarray*}$ ist dagegen nur eindimensional.
Und auch Beispiel 4 stimmt: dreielementiger Spann, aber nur zweielementige Basis.

Auf alle Fälle ein riesen dankeschön an dich, ich glaub ich habs kapiert wies geht^^ Mit Zunge

12.01.2007, 17:40

Leopold

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Zitat:

Original von schrawenzel
Also ist bei Beispiel 5 einfach nur

$\begin{eqnarray*} <S> = \left\{ (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\} \end{eqnarray*}$

Nein.

$\begin{eqnarray*} \langle S \rangle = \left\langle (1,2,3) , (4,5,6) , (5,7,10) \right\rangle = \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

Du hattest die spitzen Klammern nicht geschrieben.

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