Primzahlcharakteristik

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29.12.2011, 18:47	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlcharakteristik Meine Frage: Hallo! Ich brauche bitte eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe, denn da komme ich einfach nicht weiter. Es sei R ein Ring mit Primzahlcharakteristik p. Man zeige, dass für $\begin{eqnarray} a_{1}, \dots, a_{n} \end{eqnarray}$ aus R stets $\begin{eqnarray} (a_{1} + \dots + a_{n})^{p^{k}} = a_{1}^{p^{k}} + \dots + a_{n}^{p^{k}} \end{eqnarray}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n,k \geq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Die Charakteristik ist ja die Zahl, wie oft man das neutrale Element der Multiplikation addieren muss, um das neutrale Element der Addition zu erhalten. Was eine Primzahlcharakteristik ist, weiß ich leider nicht. Ich habe jetzt erstmal angenommen, dass es eine Charakteristik ist, die prim ist. Trotzdem finde ich keinen Ansatz. Es gibt da einen Satz, dass dies für zwei Elemente gilt, aber dafür muss laut Voraussetzung Kommutativität gelten und die ist hier nicht gegeben. Es würde mich freuen, wenn jemand von euch eine Idee hat und diese mir mitteilt.
30.12.2011, 01:22	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, Primzahlcharakteristik hast du meines Erachtens nach richtig verstanden, wenngleich der Ring unitär sein sollte (sonst ergibt das keinen Sinn). Ich habe keine ausgefeilte Theorie, aber vielleicht hilft das was: Man kann die Charakteristik auch folgendermaßen charakterisieren (soll jetzt nicht redundant wirken ): Sie ist die kleinste nichtnegative ganze Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , für die der Ring einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Nun überleg Dir, wie die Charakteristik von einem Ring in einen Unterring vererbt wird. Was passiert mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , wenn p eine Primzahl ist? Würde vorschlagen, du zeigst das für diesen Unterring und dehnst das Argument auf den ganzen Ring aus. Liebe Grüße
30.12.2011, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Untersuche die Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zunächst für $\begin{eqnarray} (a+b)^p \end{eqnarray}$ , dann für $\begin{eqnarray} (a+b)^{p^k} \end{eqnarray}$ und dann für dein Problem.
30.12.2011, 14:23	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem Vielen Dank für eure Antworten. @ dr.morrison: Ich habe noch nicht wirklich verstanden, was du meinst. Es wird wohl am einfachsten, das für n=2 zu zeigen und dann eine Induktion nach n zu machen. Leider kriege ich das nicht hin. @ Elvis: Ich weiß, dass man das für zwei Dinge so zeigen kann, aber dazu benötigt man meines Erachtens, dass der Ring kommutativ ist und das ist ja nicht gegeben. Wenn ich das für zwei Dinge gezeigt habe, kann man das ja mittels vollständiger Induktion ganz zeigen.
30.12.2011, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Ring nicht kommutativ ist, so ist $\begin{eqnarray} (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2 \end{eqnarray}$ nicht notwendig gleich $\begin{eqnarray} a^2+b^2 \end{eqnarray}$ . Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} a= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_2=\mathbb Z/ 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ . (... wenn ich mich nicht verrechnet habe ...)
30.12.2011, 23:02	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend! @ elvis: supergutes Beispiel, habe mir auch den Matrizenring über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ ausgedacht, aber leider Gottes nur Matrizen als Beispiele ausgedacht, für die das klappt. @paradiesvogel: da dachte ich wohl etwas kompliziert. Überlege gerade noch, wie man das Argument zu einem richtigen aufmöbeln könnte... Liebe Grüße!
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30.12.2011, 23:15	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Ich weiß, welche Auswirkungen es hat, wenn der Ring nicht kommutativ ist. Das Problem ist aber, dass man dadurch nur noch weniger Informationen hat. Inzwischen habe ich rausgefunden, dass dieser Satz "freshman's dream" genannt wird, weil Anfänger gerne Potenzen so reinziehen. In den Beweisen, die ich gesehen habe wird aber immer Kommutativität oder gleich ein Körper vorausgesetzt. Zum Beweis habe ich nach wie vor leider keine Idee. Vielleicht ist es ja auch ein Fehler in der Aufgabe und es ist wirklich gleich Kommutativität voraus gesetzt.
30.12.2011, 23:22	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
@Paradiesvogel: Elvis hat doch bereits gezeigt, dass die Aussage für nicht-kommutative Ringe i.A. nicht gilt. Ich kenne einige Leute, mich eingeschlossen, die wenn sie Ring schreiben eigentlich kommutativer Ring mit 1 meinen. Das dürfte auch hier der Fall sein.
31.12.2011, 12:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun sollte doch alles klar sein. Für kommutative Ringe betrachte Binomialkoeffizienten. Für nichtkommutative Ringe gilt die Aussage nicht, siehe Gegenbeispiel. Anmerkung: Auf so ein Gegenbeispiel kommt man, indem man über F2 zwei allgemeine 2x2 Matrizen benutzt.
01.01.2012, 17:19	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Achso... Naja, für kommutative Ringe kann ich das mit Induktion zeigen. Dann bleibt mir nur noch die Frage, ob das Gegenbeispiel auch die Primcharakteristik erfüllt. Das war ja schließlich eine Voraussetzung. Ich sehe nicht, dass das geht.
01.01.2012, 17:33	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1_{\mathbb F^{2 \times 2}} + 1_{\mathbb F^{2 \times 2}} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} = 0_{\mathbb F^{2 \times 2}} \end{eqnarray}$ An was genau störst du dich denn? air
01.01.2012, 19:03	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh... Oh man bin ich ein Depp... Ich habe nicht mehr daran gedacht, dass wir in mod2 sind. Bitte entschuldigt!! Nun kann ich es zeigen. Vielen, vielen Dank an euch alle, dass ihr mir geholfen habt. Vielen, vielen Dank! Paradiesvogel
02.01.2012, 18:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. 2 ist eine Primzahl. Ich habe sie gewählt, damit die Rechnung nicht so lang wird wie bei der Mersenne-Primzahl $\begin{eqnarray} 2^{42643801}-1 \end{eqnarray}$
02.01.2012, 23:16	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Das war wirklich eine gute Idee. Vielen, vielen Dank! Ich denke beim nächsten Mal besser nach!!

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