Holomorphie im Einheitskreis Staatsexamen 2003

29.12.2011, 19:16

latingirl

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Holomorphie im Einheitskreis Staatsexamen 2003

Meine Frage:
Hallo!

Ich beschäftige mich gerade mit der Staatsexamens-Aufgabe 2003 Frühjahr Thema 3 Aufgabe 1. Sie wurde auf unserem Uni-Übungsblatt leicht umformuliert, so dass Folgendes zu beweisen ist:
Es sei f eine in D (Einheitskrei) holomorphe Funktion mit f(0)=0. Zeige:
a) Durch g(z) = sum(n=1bis?)(f(z^n)) wird eine in D holomorphe Funktion g definiert.
b) Ist f holomorph auf einer offenen Umgebung U von D-(abgeschl. Einheitskreis) und konvergiert die Reihe in a) für alle z aus D-, so ist f=0.

[attach]22497[/attach]

*** Habe deinen Anhang entfernt und die Aufgabenstellung aus dem Staatsexamen eingefügt. - gonnabphd ***

Meine Ideen:
Also zu a) habe ich f als Potenzreihe mit Konvergenzradius 1 dargestellt f(z)=sum(k=0bis?)(akz^k) und mir mal die Funktion g genauer angeschaut:
g(z)=sum(k=0bis?)(akz^k)+sum(k=0bis?)akz^2k+usw.
Wenn ich die Koeffizienten der Potenzreihe von g mit bk bezeichne, kann ich dann mit Hilfe der Voraussetzung, dass f Konv.radius 1 besitzt, auf limk-> verwirrt

verwirrt

bk/bk+1)=1 schließen? Man kann ja feststellen, dass die Koeffiz. bk die Summe über diejenigen aj sind für alle Teiler j von k (a0=0 nach Voraussetzung und auch b0=0, da auch g(0)=0).
zu b) Hier habe ich gedacht es geht über das Maximumprinzip oder so ähnlich, aber ich komme nicht wirklich weiter...

SOS, bitte helft mir! Wäre schön, wenn's 2011 noch klappt ;-)

29.12.2011, 19:42

gonnabphd

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Hi und

Willkommen

im Forum,

Ich würde dich als erstes gerne darauf hinweisen, dass es hier die Möglichkeit gibt, Formeln mit $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ darzustellen (sonst ist das leider nur schwer lesbar).

Um rauszufinden, wie das funktioniert, hilft dir dieser Thread sowie der Formeleditor. smile

smile

Das Anhängen der Aufgabe scheint übrigens auch nicht so wirklich funktioniert zu haben.

Nun zur eigentlichen Aufgabe: Einfach die Reihenentwicklung einzusetzen ist wahrscheinlich keine so gute Idee. Du könntest allerdings dein f in der Form

$\begin{eqnarray*} f(z) = zh(z) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} h: \mathbb D\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph schreiben (wieso?). Zeige damit, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty f(z^k) \end{eqnarray*}$

auf allen Kreisscheiben $\begin{eqnarray*} D_r = \{z \in \mathbb C\mid |z|<r\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ gleichmässig konvergiert (benutze dabei, dass h auf jeder solchen Kreisscheibe - für fixes r - beschränkt ist). Schliesse daraus Aufgabenteil a).

Mit einer ähnlichen Idee lässt sich b) zeigen.
Falls du noch mehr Hilfe brauchst, kannst du ja fragen.

Gruss Wink

Wink

29.12.2011, 20:27

latingirl

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Hallo nochmal!

Leider liegt mein LATEX-Einführungskurs schon lange zurück! Wie geb ich z.B. eine Summe ein?

Ich muss doch zum Nachweis der gl.m. Konvergenz die Partialsummen sum(n=1 bis t)(z^nh(z^n)) betrachten und dann lim t->unendlich. h(z^n) ist ja beschränkt aber wie gehts dann weiter?

Und wieder freue ich mich über eine Antwort, bin echt noch "etwas" überfordert mit Funktionentheorie...

lg latingirl

29.12.2011, 20:31

latingirl

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... und meinst du "kompakt konvergent", d.h. gleichmäßig konvergent auf den abgeschlossenen (!!!) Kreisscheiben Dr.
Es gilt ja, dass der Grenzwert von kompakt konvergenten Reihen über holomorphe Funktionen wieder holomorph ist.

erst mal konzentriere ich mich auf die a), für b) brauch ich noch Bedenkzeit ;-)

30.12.2011, 07:34

gonnabphd

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Zitat:

Leider liegt mein LATEX-Einführungskurs schon lange zurück! Wie geb ich z.B. eine Summe ein?

Wenn du dir die oben erwähnten Links anschauen würdest...

Zitat:

Ich muss doch zum Nachweis der gl.m. Konvergenz die Partialsummen sum(n=1 bis t)(z^nh(z^n)) betrachten und dann lim t->unendlich. h(z^n) ist ja beschränkt aber wie gehts dann weiter?

Benutze den Weierstraßschen M-Test. (Die geometrische Reihe ist dir schon bekannt, oder?)

Zitat:

gleichmäßig konvergent auf den abgeschlossenen (!!!) Kreisscheiben

Ob abgeschlossene Kreisscheiben oder offene, lokal gleichmässig muss es nur sein.

Zitat:

Es gilt ja, dass der Grenzwert von kompakt konvergenten Reihen über holomorphe Funktionen wieder holomorph ist.

Das ist genau die Idee.

30.12.2011, 08:07

latingirl

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Guten Morgen und merci beaucoup! Habe gestern wohl vor lauter Rätselraten über die Aufgabe deine Threads zu LaTex übersehen, sorry...
Werde mal das Majorantenkriterium probieren, geo. Reihe ist bekannt...
lg

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30.12.2011, 08:35

latingirl

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Ok, Majorantenkriterium funktioniert... Danke für den Tipp!
Die Behauptung folgt dann doch, da lokal gleichmäßige Konvergenz die kompakte Konvergenz impliziert, oder? Wenn ja, dann ist mir ein kleines Lichtlien aufgegangen Freude

Freude

und es gilt doch: wenn f(z) holomorph, dann auch $\begin{eqnarray*} f(z^n) \end{eqnarray*}$ holomorph, oder???

So dann zur b): die Reihe ist ja hier konvergent auf dem abgeschl. Einheitskreis (Kompaktum). Ist eigtl. jeder abgeschlossene Kreis in C ein konvexes Gebiet?
Wie hilft mir die Idee aus a) hier?

30.12.2011, 09:46

gonnabphd

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Zitat:

Die Behauptung folgt dann doch, da lokal gleichmäßige Konvergenz die kompakte Konvergenz impliziert, oder? Wenn ja, dann ist mir ein kleines Lichtlien aufgegangen Freude

Freude

Mais bien sûr! smile

smile

Zitat:

und es gilt doch: wenn f(z) holomorph, dann auch $\begin{eqnarray*} f(z^n) \end{eqnarray*}$ holomorph, oder???

Jep.

Zitat:

Ist eigtl. jeder abgeschlossene Kreis in C ein konvexes Gebiet?

Konvex, ja. Gebiet nein, da nicht offen.

Zitat:

Wie hilft mir die Idee aus a) hier?

Hatte ursprünglich an die Divergenz der geometrischen Reihe gedacht, doch eigentlich hilft das nicht unbedingt weiter. Allerdings könntest du ja mal die Punkte $\begin{eqnarray*} e^{2\pi i /n} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \partial \mathbb D \end{eqnarray*}$ betrachten? Was macht denn die Reihe dort? smile

smile

30.12.2011, 11:00

latingirl

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Die Antwort kam ja wieder richtig fix, vielen Dank dafür!

Also g( $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{n}} \end{eqnarray*}$ ) = \sum\limits_{n=1}^\infty f(1)

Da f(1) von n unabh. ist, muss f(1)=0 gelten, sonst divergiert ja die Summe.

Hilft nun Folgendes weiter?:
Da f holomorph in Umgebung von abgeschl. Einh.kreis, wird wg. der Gebietstreue ein Gebiet um 0, welches 1 enthält, auf ein Gebiet um f(0)=0 abgebildet.
--> Anwendung von Max.prinzip auf den abgeschl. Einheitskreis??? f(1)=f(0)=0

Und noch eine ganz andere Frage:
f_n(z) = z^(n-1) konvergiert ja im Einheitskreis punktweise gegen 0, aber es gilt ja, dass (1-\frac{1}{n-1})^{n-1} für n-->unendlich gegen 1/e konvergiert. 1/e ist jedoch nicht 0... Das versteh ich nicht, für mich passen die beiden Aussagen nicht zusammen. Wo liegt mein Denkfehler?

Mahlzeit!

30.12.2011, 11:02

latingirl

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Nochmals dasselbe nur mit LATEX richtig angewendet:

Die Antwort kam ja wieder richtig fix, vielen Dank dafür!

Also g( $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{n}} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty f(1) \end{eqnarray*}$

Da f(1) von n unabh. ist, muss f(1)=0 gelten, sonst divergiert ja die Summe.

Hilft nun Folgendes weiter?:
Da f holomorph in Umgebung von abgeschl. Einh.kreis, wird wg. der Gebietstreue ein Gebiet um 0, welches 1 enthält, auf ein Gebiet um f(0)=0 abgebildet.
--> Anwendung von Max.prinzip auf den abgeschl. Einheitskreis??? f(1)=f(0)=0

Und noch eine ganz andere Frage:
f_n(z) = z^(n-1) konvergiert ja im Einheitskreis punktweise gegen 0, aber es gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n-1})^{n-1} \end{eqnarray*}$ für n-->unendlich gegen 1/e konvergiert. 1/e ist jedoch nicht 0... Das versteh ich nicht, für mich passen die beiden Aussagen nicht zusammen. Wo liegt mein Denkfehler?

Mahlzeit!

30.12.2011, 14:43

gonnabphd

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Zitat:

Also g( $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{n}} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty f(1) \end{eqnarray*}$

Weiterer Tipp zum LaTeX hier im Board: Du kannst gleich die ganze Gleichung in einem "LaTeX-Stück" einfügen. z.B.

code:
1:	[latex] g \left( e^{\frac{2\pi i}{k}} \right) = \sum\limits_{n=1}^\infty f \left( e^{\frac{2\pi i n}{k}} \right)[/latex]

ergibt

$\begin{eqnarray*} g(e^{\frac{2\pi i}{k}}) = \sum\limits_{n=1}^\infty f \left( e^{\frac{2\pi i n}{k}} \right) \end{eqnarray*}$

Also allgemein einfach

code:
1:	[latex] <Deine gesamte Gleichung oder Formel> [/latex]

eingeben, dann passt das wunderbar! smile

smile

Dein Fehler: Das n, welches du links in g(z) einsetzt ist, kann nicht der Index sein, worüber du auf der rechten Seite summierst! geschockt

geschockt

Du siehst allerdings richtig, dass z.B. für $\begin{eqnarray*} g(1) = \sum_{n=0}^\infty f(1) \end{eqnarray*}$ aus der Konvergenz der Reihe folgen muss, dass $\begin{eqnarray*} g(1) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass auch $\begin{eqnarray*} g(e^{\frac{2\pi i}{k}}) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle k gelten muss. Beachte weiterhin, dass sich diese Menge bei 1 häuft: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} e^{\frac{2\pi i}{k}} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Folgere daraus b). smile

smile

Zum Thema $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(1- \frac{1}{n}\right)^n = 1/e \end{eqnarray*}$ : Du kannst nicht irgendwie zuerst das n aussen nach undenlich gehen lassen und dann innen... Die Folge in den Klammern konvergiert gegen 1; während das "hoch n" die Folge gegen 0 zu drücken versucht, flieht der Teil innen Richtung 1. Das Ergebnis dieses Kräftemessens ist, dass die beiden Teile sich teilweise aufheben und gegen 1/e konvergieren. Steht also nicht im Widerspruch dazu, dass jede $\begin{eqnarray*} z^n \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$

30.12.2011, 17:13

latingirl

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Okidoki, also dann geht's weiter mit den Überlegungen:
Kann ich dann für k=2 folgern, dass auch f(-1)=0, da ja schon f(1)=0 aus k=1 folgt?
Zeige ich deine Behauptung über vollständige Induktion (für alle k)?

Sollte ich das gezeigt habe, dann bleibt ja immer noch die Behauptung f=0:
Hierzu brauche ich wahrscheinlich die Voraussetzung, dass f auf offener Umgebung (Gebiet!) des abgeschl. Einheitskreises holomorph ist. Dann könnte ich ja, da ich dann gezeigt habe, dass f für alle $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{k}} \end{eqnarray*}$ 0 ist, und sich diese Punkte ja in 1 häufen, nach dem Identit.prinzip folgern, dass f=0.

Bzgl. der Induktion tüftel ich noch weiter bzw. vielleicht seh ich noch eine andere Beweismöglichkeit...

Ganz vielen Dank schon jetzt für deine hilfreichen Antworten!
Natürlich können gerne auch andere hier posten Wink

Wink

31.12.2011, 07:57

latingirl

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Ich hab nochmals darüber gegrübelt:
Mittlerweile glaube ich, dass Induktion iwie zu "schwierig"/umständlich hier wäre...
Man potenziert ja innerhalb der Funktion f Konstanten mit n. Kann man dann schon auf f(...)=0 schließen, und somit g(...)=0?

01.01.2012, 08:40

gonnabphd

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Ich denke, du solltest nochmal ein bisschen die Analysisunterlagen studieren (damit meine ich Konvergenz von Reihen, glm. Konvergenz von solchen Teilern). Die Dinge sollte man schon möglichst verinnerlichen (macht alles leichter). Aber nun ja, hier ein letzter Tipp zu dieser Aufgabe:

Tipp: Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 11:45

latingirl

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Ich sag nur soviel: Manchmal sind man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Trotzdem Danke für deine Geduld!
Gruß

01.01.2012, 12:14

latingirl

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Also: $\begin{eqnarray*} f(e^{\frac{2\pi i}{k}*n } ) \end{eqnarray*}$ muss gegen Null konvergieren für n gegen unendlich.
Da wir ja schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} f(1) = f(e^{2\pi i} )=0 \end{eqnarray*}$ sein muss und dies ja in der Folge für alle n der Fall ist, die ein Vielfaches von k sind, müssen auch die restlichen Folgeglieder 0 sein, damit die Folge konvergieren kann.

...

01.01.2012, 12:17

latingirl

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... und so schließe ich:

Zitat:

Original von latingirl

Sollte ich das gezeigt habe, dann bleibt ja immer noch die Behauptung f=0:
Hierzu brauche ich wahrscheinlich die Voraussetzung, dass f auf offener Umgebung (Gebiet!) des abgeschl. Einheitskreises holomorph ist. Dann könnte ich ja, da ich dann gezeigt habe, dass f für alle $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{k}} \end{eqnarray*}$ 0 ist, und sich diese Punkte ja in 1 häufen, nach dem Identit.prinzip folgern, dass f=0.

Anmerkung: Ich finde ein Gebiet in der offenen Umgebung, so dass...

Ich hoffe sehr, dass das jetzt so stimmt. Ein kleiner Lichtblick zu Neujahrsanfang wäre schön smile

smile

01.01.2012, 15:11

gonnabphd

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Zitat:

Da wir ja schon wissen, dass $\begin{eqnarray*} f(1) = f(e^{2\pi i} )=0 \end{eqnarray*}$ sein muss und dies ja in der Folge für alle n der Fall ist, die ein Vielfaches von k sind, müssen auch die restlichen Folgeglieder 0 sein, damit die Folge konvergieren kann.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du hier das richtige meinst. Das Entscheidende ist:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i n}{k}} \end{eqnarray*}$ ist periodisch in n mit Periode k. Das heisst, falls $\begin{eqnarray*} f(e^{\frac{2\pi i n}{k}})\ne 0 \end{eqnarray*}$ wäre für ein n, so müsste auch

$\begin{eqnarray*} f(e^{\frac{2\pi i (n+pk)}{k}})\ne 0\qquad\forall p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

gelten. Was nicht geht, wenn die Reihe konvergieren soll. Der Rest ist richtig.

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