Differentialrechnung f(x)=2x^2-x^2-2x (zeichnen,mittlere Steigung,Gleichung der Tangente, ...)

30.12.2011, 07:48

Alina123

Differentialrechnung f(x)=2x^2-x^2-2x (zeichnen,mittlere Steigung,Gleichung der Tangente, ...)

Könnte bitte jemand meine Lösungen kontrollieren zu folgenden Aufgaben kontrollieren?

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2-x^2-2x \end{eqnarray*}$ im Intervall [-1.5 ; 2]

a) Zeichne die Funktion und berechne die mittlere Steigung im Intervall.
[attach]22511[/attach]

Differenzenquotient: $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2)-f(-1.5)}{2-1.5}=\frac{8-(-6)}{0,5}=\frac{14}{0,5}=28 \end{eqnarray*}$

b) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(-1|y)

$\begin{eqnarray*} f(-1)=2\cdot(-1)^3-(-1)^2-2\cdot(-1)=-1 P(-1|-1) f(x)'=6x^2-2x-2 k=f(-1)'=6 t:y=k\cdot x+d -1=6\cdot (-1)+d -1=-6+d d=5 t:y=6x+5 \end{eqnarray*}$

c) In welchen Punkten hat f die Steigung 2?

$\begin{eqnarray*} k=f(x)'=2 2x^2=2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=1 \end{eqnarray*}$
in f(x)'
$\begin{eqnarray*} x_{1}: 6\cdot (-1)^2-2\cdot (-1)-2=6 x_{2}: 6\cdot (1)^2-2\cdot (-1)-2=2 6\cdot(1)^2-2\cdot1-2=2 P_{1}(-1|6) P_{2}(1|2) \end{eqnarray*}$

d) Gibt es Punkte mit Tangenten parallel zur Geraden 2x+y=5?

$\begin{eqnarray*} g: 2x+y = 5 y=5-2x \Rightarrow y(x_{p})=k=-2 6x_{p}^2-2x_{p}-2=-2 x_{p1}=0, x_{p2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

e) Welchen Neigungswinkel hat f an der rechten Intervallgrenze?

$\begin{eqnarray*} f(2)'=6\cdot 2^2-2\cdot 2-2=18 tan^{-1}(18)=86.82° \end{eqnarray*}$

Das wars auch schon - ich hab leider niemanden der mir das kontrollieren könnte unglücklich

edit: Grafik eingefügt. Bitte keine Links zu externen Hosts.
LG sulo

30.12.2011, 08:18

klarsoweit

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RE: Differentialrechnung f(x)=2x^2-x^2-2x (zeichnen,mittlere Steigung,Gleichung der Tangente, ...)

Zitat:

Original von Alina123
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2-x^2-2x \end{eqnarray*}$ im Intervall [-1.5 ; 2]

Gemeint ist vermutlich $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^3 - x^2 - 2x \end{eqnarray*}$ .

Bei Aufgabe c verstehe ich nicht, was du gerechnet hast.

30.12.2011, 08:36

Alina123

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Sorry, Tippfehler. Du hast mit der Vermutung recht.

zu c...jetzt wo du es sagst versteh ich selbst nicht was ich da machte.
Wie bekommt man die Punkte zu einer Steigung?
Die Ableitung der Funktion mit der gegebenen Steigung gleichsetzen und nach x lösen, so erhaltet man die x-Kooirdinaten.
Die y-Koordinaten sind dann die Ergebnise der abgeleiteten Funktion mit den errechneten x-Werten. Stimmt das zumindest?

30.12.2011, 11:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alina123
Die Ableitung der Funktion mit der gegebenen Steigung gleichsetzen und nach x lösen, so erhaltet man die x-Kooirdinaten.

Richtig.

Zitat:

Original von Alina123
Die y-Koordinaten sind dann die Ergebnise der abgeleiteten Funktion mit den errechneten x-Werten. Stimmt das zumindest?

Darüber solltest du nochmal nachdenken.

30.12.2011, 15:23

Alina123

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Oh man muss das y über die Stammfunktion errechnen.
Also im gegebenen Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 6x^2-2x-2 = 2 6x^2-2x-4=0 ABC-Formel x_{1}=-\frac{2}{3} x_{2}=1 In Stammfunktion: y=2x^3-x^2-2x y_{1}=y(-\frac{2}{3})=2x^3-x^2-2x=\frac{8}{27} y_{2}=y(1)=2-1-2=-1 A(-\frac{2}{3}|-\frac{8}{27}) B(1|-1) \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun?

30.12.2011, 15:39

klarsoweit

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Ich denke ja (habe jetzt nicht jedes Detail kontrolliert).

Da der Begriff "Stammfunktion" in anderen Zusammenhängen schon belegt ist, würde ich da etwas anderes verwenden, vielleicht "Ausgangsfunktion" oder ähnliches.