Extremwertaufgabe Kapsel

30.12.2011, 10:56

JuliaJulia

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Extremwertaufgabe Kapsel

Meine Frage:
Ich habe folgendes Beispiel:
Eíne Kapsel aus Blech mit einem volumen V=26*pi dm³ hat die Form eines Zylinders (r,h), dem auf einer Seite ein kegel mit gleichem Eadius r und der Höhe h=(12/5)r aufgesetzt ist. Wie groß müssen r und h des Zylinders gewählt werden, damit der Materialverbrauch möglichst gering ist?

Meine Ideen:
Ich habe für h folgende Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{16*\pi -0,8*\pi *r^3}{r^2*\pi } \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Lg Julia

30.12.2011, 11:08

riwe

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RE: Extremwerteaufgabe Kapsel
ich glaube nicht,
kannst du das einmal vorrechnen verwirrt

verwirrt

30.12.2011, 11:13

JuliaJulia

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RE: Extremwerteaufgabe Kapsel
V=G*h+(G*h)/3

$\begin{eqnarray*} 16*\pi =r^2*\pi *h + \frac{r^2* \pi* (12/5)*r }{3} \end{eqnarray*}$

30.12.2011, 11:32

riwe

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RE: Extremwerteaufgabe Kapsel
aber du schreibst doch oben $\begin{eqnarray*} V = {26}\pi \end{eqnarray*}$

rechts vom gleichheitszeichen stimmt alles Freude

Freude

30.12.2011, 13:12

mYthos

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@JuliaJulia

Bitte kannst du so nett sein, auch deine anderen parallel laufenden Threads irgendwie abzuschließen? Es ist extrem unhöflich, wenn du dich nach erhaltener Hilfeleistung nicht mehr dazu bequemst, dich dazu entsprechend zu äußern!

30.12.2011, 17:53

JuliaJulia

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RE: Extremwerteaufgabe Kapsel
Entschuldigung, ich glaube ich habe mich verschrieben... LOL Hammer

LOL Hammer

V=16*pi

Stimmt die Gleichung von h in diesem Fall vielleicht doch?

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30.12.2011, 20:02

riwe

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RE: Extremwerteaufgabe Kapsel

Zitat:

Original von JuliaJulia
Entschuldigung, ich glaube ich habe mich verschrieben... LOL Hammer

LOL Hammer

V=16*pi

Stimmt die Gleichung von h in diesem Fall vielleicht doch?

steht doch eh oben: JA Freude

Freude

30.12.2011, 20:09

JuliaJulia

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Jetzt brauche ich ja die Oberfläche aber da habe ich Probleme:

$\begin{eqnarray*} r^2*\pi + \frac{32*\pi -1,6*r^3}{r} +r^2*\pi + M von Kegel \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hierher?

Wie berechne ich den Mantel von dem Kegel

M=2*r*pi*s?

Wie bekomme ich s?

31.12.2011, 01:25

mYthos

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Die Oberfläche stimmt nicht ganz und der Mantel ist nur r*pi*s
In die Oberfläche ist die Kreisfläche nur ein Mal eingebunden, denn dort, wo Kegel und Zylinder aneinander liegen, verschwindet die Kreisfläche. Ansonsten passt es (der Mantel des Zylinders stimmt).

s ist die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreieckes r, h, s (--> r, (12/5)r, s)

mY+

31.12.2011, 08:16

JuliaJulia

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Danke für deine Antwort. Dieses "wo Kegel und Zylinder aneinander liegen, verschwindet die Kreisfläche" habe ich doch schon miteinbezogen.

Die Oberfläche des Zylinders würde doch eigentlich 2G+M lauten, und ich habe ja nur G+M genommen...

31.12.2011, 16:02

mYthos

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Was ist denn dann das zweite $\begin{eqnarray*} r^2 \pi \end{eqnarray*}$ ?

mY+

31.12.2011, 16:09

JuliaJulia

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Big Laugh

Ah, schon verstanden.

Ich habe das als die grundfläche des Kegels gerechnet aber der kann ja auch keine Grundfläche haben.

Vielen Dank!
Aber wie ich s bekomme, habe ich noch immer nicht ganz verstanden...

31.12.2011, 16:11

mYthos

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Für das rechtwinkelige Dreieck r, h, s gilt doch der Pythagoras, nicht?
Dabei sind dann die Katheten r und (12/5)r. Somit kannst du s ebenfalls in r ausdrücken!

mY+

31.12.2011, 16:15

JuliaJulia

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s=Wurel aus (r^2+5,76r^2)

31.12.2011, 16:32

JuliaJulia

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Lieber Mytos, wie leite ich meinen Mantel also
r*pi*Wurzel aus (r^2+5,76r^2) richtig ab?

mit der Produktregel

Lg julia

31.12.2011, 18:18

mYthos

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Ich würde noch die Wurzel vereinfachen, denn du kannst r² ausklammern, 5.76 + 1 = 6.76, die Wurzel daraus ist 2.6. Daher ist einfach s = 2.6 r

Jetzt wird die Ableitung bestimmt leichter.

mY+

01.01.2012, 18:56

JuliaJulia

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Dann habe ich insgesamt:

$\begin{eqnarray*} O'=r*\pi +32*\pi -16*r^3+2,6*\pi *r^2 \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 21:24

JuliaJulia

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Entschuldigung, bitte vergiss die Ableitung, da habe ich einen Denkfehler drinnen...

Ich habe als entgültige Formel folgendes aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} 0=r^2*\pi + \frac{32*\pi -1,6*r^3}{r}+2,6*\pi *r^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

02.01.2012, 00:25

mYthos

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Das ist also die Oberfläche, aber noch nicht deren Ableitung.
Bis jetzt richtig.

mY+

02.01.2012, 18:10

JuliaJulia

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Jetzt habe ich es abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} O'=2*\pi *r-\frac{4,8r^3-32* \pi +1,6r^3}{r^2}+5,2*\pi *r \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 01:46

mYthos

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Der Bruch in der Mitte stimmt so nicht, da dürfte dir ein Vorzeichenfehler passiert sein. Schreibe genauer auf, wie du die Ableitung des Bruches berechnet hast.

mY+

03.01.2012, 06:56

JuliaJulia

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Beim Bruch habe ich das mit der Quotientenregel gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-4,8r^2)*r-(32*\pi -1,6*r^3}{r^2} \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

04.01.2012, 09:04

mYthos

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Bis auf die fehlende (zu schließende) Klammer rechts, stimmt es.
-----
So, dann vergleiche doch mal dieses Resultat mit jenem, welches du zuvor stehen hattest.
Mehr als den Hinweis, dass es Vorzeichenfehler geben könnte, kann ich dir doch wirklich nicht geben. Wenn du das nicht umsetzen willst, kann daraus nichts werden.

Leider wirfst du deine Beiträge (sehr) kurz, lieblos und scheinbar ohne Kontrolle einfach nur hin. So entsteht der Eindruck, dass du an dem Ganzen nicht sehr interessiert bist. Für die Helfer auch nicht gerade motivierend.

mY+

04.01.2012, 16:05

JuliaJulia

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Oh, entschuldigung, ich habe nicht gesehen, dass du mir geantwortet hast!

Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe das (-4,8) zum Vorzeichen meines Bruches gemacht und das darf ich nicht. Also müsste das Ganze eigentlich heißen:

$\begin{eqnarray*} 0'=2*\pi *r + \frac{(-4,8*r^3-32*\pi +1,6*r^3}{r^2}+2,6*\pi * r^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du hast diesen Fehler gemeint...

Ich habe bei meinen - die Vorzeichen geändert und ansonsten kann ich ja fast keinen Vorzeichenfehler gemacht haben...

Ps:. Es tut mir Leid, ich werde mich ab jetzt mehr bemühen, wie du hoffentlich schon siehst... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2012, 16:14

mYthos

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Ja, das war gemeint. Nun solltest du die $\begin{eqnarray*} r^3 \ \text{- Glieder} \end{eqnarray*}$ noch zusammenfassen und dann eventuell gliedweise durch $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ dividieren.
Danach lassen sich noch $\begin{eqnarray*} r \ \text{- Glieder} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.

mY+

04.01.2012, 16:30

JuliaJulia

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Wenn ich meine Gleichung so auflöse, wie du es mir gesagt hast bekomme ich heraus:

$\begin{eqnarray*} 0=2*\pi *r^3-3,2*r^2-\frac{32*\pi }{r^2}+2,6*\pi \end{eqnarray*}$

Nun kann ich sie mal r^2 rechnen, damit ich den Bruch wegbekomme...

Dann kann ich die r^2 zusammenfassen aber jetzt frage ich mich, was ich machen soll...

Lg Julia smile

smile

04.01.2012, 18:17

mYthos

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Wir müssen nochmals von dem vorhin ausgehen, sonst kommen wir in einen Wirbel, denn in der Zwischenzeit hast du wieder falsch abgeschrieben (der letzte Summand war wieder falsch):

Zitat:

Original von JuliaJulia
Jetzt habe ich es abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} O'=2*\pi *r-\frac{4,8r^3-32* \pi +1,6r^3}{r^2}+5,2*\pi *r \end{eqnarray*}$

Da hat nur der Mittelteil nicht gestimmt. Wenn du diesen nun durch die richtige Ableitung ersetzt, ist

$\begin{eqnarray*} O'=2r \pi + \frac{- 4,8r^3 - 32 \pi + 1,6r^3}{r^2} + 5,2 r \pi \end{eqnarray*}$

So, und nun den ersten und dritten Summanden zusammengefasst und im Bruch den Zähler vereinfacht, das führt zu

$\begin{eqnarray*} O'=7,2r \pi + \frac{-3,2r^3 - 32 \pi}{r^2} \end{eqnarray*}$

So, jetzt kannst du mit r² multiplizieren und dann das Ding Null setzen.
(Fasse dann die r³ - Glieder zusammen!)

Für die 2. Ableitung forme O' um:

$\begin{eqnarray*} O' = (7,2 \pi - 3,2)r - \frac{32 \pi}{r^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O'' = ... \end{eqnarray*}$ (es geht nur um das Vorzeichen zur Verifizierung des Extremums, Max. od. Min.)

Natürlich kannst du auch - vorteilhafter - den letztumgeformten Term für O' zur Bestimmung des Extremwertes Null setzen.

mY+

05.01.2012, 15:03

JuliaJulia

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Danke für deine ausführliche Antwort!

Ich habe das richtige Ergebnis herausbekommen:

r=2

h=2,5

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