(n^2))^2

30.12.2011, 12:45

IT-Studi

Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verzweifle aktuell an folgender Aufgabe:

Bestimme $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2})^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre das ganze auf den bekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{n})^n = e^a \end{eqnarray*}$ zurückzuführen, da dies der (in meinen Augen) einzig passende bekannte Grenzwert ist. Leider habe ich das bisher noch nicht hinbekommen.

Habt ihr irgendwelche Idee, wie ich die Aufgabe entsprechend umformen kann oder gibt's noch eine andere passende Lösung?

Danke für eure Ideen.

30.12.2011, 13:58

original

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RE: Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2
Idee:
Vielleicht kannst du ja herausfinden, ob die Vermutung :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2})^n = e^{4} \end{eqnarray*}$

richtig ist ..

30.12.2011, 19:10

Alive-and-well

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ich würde ja fast sagen, dass du hier an eien linearfaktor zerlegung denken solltest.

30.12.2011, 21:30

IT-Studi

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RE: Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2
@original:
$\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ soll laut Wolfram Alpha das richtige Ergebnis sein. Wie bist denn auf deine Vermutung gekommen?

@Alive-and-well:
Wenn ich die Nullstellen bestimme würde ich $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ setzen. Aufgelöst nach n ergibt sich $\begin{eqnarray*} n = \begin{cases} -8\\4\end{cases} \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{(n-4)(n-8)}{n^2})^n \end{eqnarray*}$ , oder?

Irgendwie scheine ich gerade auf dem Schlauch zu stehen, denn irgendwie hilft mir das gerade auch nicht. Wie würdest du denn damit weitermachen?

30.12.2011, 21:54

original

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RE: Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2

Zitat:

Original von IT-Studi
..ich $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2} =0 \end{eqnarray*}$ setzen.
..
Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{(n-4)(n-8)}{n^2})^n \end{eqnarray*}$ , oder? unglücklich

abgesehen von dem Vorzeichenfehler, den du am Schluss eingebaut hast: geschockt

gehe einfach so vor:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{4}{n} - \frac{32}{n^2} \end{eqnarray*}$

bringe die drei Brüche auf den Hauptnenner n^2
und zerlege dann den Zähler in ein Produkt von Linearfaktoren

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-4)\cdot (n+8)}{n^2} \end{eqnarray*}$

und das kannst du so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{4}{n} \right) \cdot \left(1+ \frac{8}{n} \right) \end{eqnarray*}$

nun sollte es für dich kein Problem mehr sein, selber weiter zu denken..

smile

30.12.2011, 21:57

IT-Studi

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RE: Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2
Na klar, da hätte ich echt selbst drauf kommen können. Danke für deine Hilfe.

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Grenzwertbestimmung für (1+4/n-32/(n^2))^2

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