Grenzwerte Funktionen in mehreren variablen

30.12.2011, 12:51	dranigl	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte Funktionen in mehreren variablen Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu Grenzwerten von Funktionen in mehreren Variablen. Wenn die folgende Funktion gegeben ist: $\begin{eqnarray} \lim_{y \to 0}\lim_{x \to 0} \frac{x\cos(\frac{1}{x}) + y\sin(y)}{2x - y} \end{eqnarray}$ Was genau muss ich nun tun, um diesen Grenzwert zu berechnen? Vielen Dank Meine Ideen:* Also mein Ansatz wäre (und ich muss echt zugeben dass ich keine Ahnung habe ob das so richtig ist) zunächst das y gegen 0 gehen zu lassen, dann ein x rauskürzen, sodass ich habe $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\frac{1}{x})}{2} \end{eqnarray}$ Ist das so der richtige Ansatz oder liege ich vollkommen falsch? Falls dem so ist, könntet ihr mir vlt einen kurzen Tipp geben, wie man so etwas löst? Vielen Dank!
30.12.2011, 14:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
. Stimmte nicht. mY+ Edit: Die Limiten hintereinander für x -->0 und y --> 0 bestimmen, das dürfte der falsche Weg sein. Man muss dies gleichzeitig machen. Ich habe mal in WolframAlpha eingegeben: *lim (x to 0, y to 0)(xcos(1/x)+ysin(y))/(2x-y)* Antwort: Der Grenzwert existiert nicht. (value depends on x,y - path) Edit2: Wenn man den Grenzwert genau so berechnen soll, wie es in der Angabe steht, ist zuerst der Grezwert für x --> 0 zu bestimmen und danach jener für y --> 0. Dann gibt es ein Resultat.
30.12.2011, 19:56	dranigl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, verstehe, vielen Dank einmal ich habe es jetzt so gemacht, dass ich zuerst x gegen 0 gehen lasse, da kommt mir dann als Ergebnis raus: $\begin{eqnarray} \lim_{y \to 0} \frac {ysin(y)}{-y} \end{eqnarray}$ und weiters als Ergebnis 0. Wenn ich nun das selbe mache, aber nun zuerst y gegen null gehen lasse komme ich auf $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {xcos(\frac {1}{x})}{2x} \end{eqnarray}$ und da der limes für $\begin{eqnarray} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ nicht existiert, existert der gesamte Grenzwert in dem Fall nicht. Ist das so richtig?
31.12.2011, 16:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist eben das Problem, dass man das nicht umkehren darf, ansonsten ein anderes Resultat erscheint. Man muss es also genau so rechnen, wie in der Angabe verlangt. Falls beide Variablen zugleich gegen Null gehen sollten, ist es wieder anders. Dann müsste man mit (kleinen) Differenzen rechnen, welche letztendlich gleichzeitg gegen Null gehen müssen. Ich hab' das jetzt nicht genau untersucht, es könnte auf partielle Ableitungen hinauslaufen. mY+

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