Inverse einer Matrix mit vielen Einsen

30.12.2011, 14:32	Das Lineal	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer Matrix mit vielen Einsen Meine Frage: hallo kann mir jemand bei der aufgabe helfen Seien $\begin{eqnarray} a_{1},... ,a_{n} \end{eqnarray}$ positive reelle Zahlen. Bestimmen Sie die inverse Matrix zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+\frac{1}{a_1} & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1+\frac{1}{a_2} & ... & 1 & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & ... & 1+\frac{1}{a_n-1} & 1 \\ 1 & 1 & ... & 1 & 1+\frac{1}{a_n}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also ich weiß wie ich eine inverse matrix bei einer endlichen matrix bestimme und ich hab es bei der dieser matrix auch versucht nur halt mit allgemeinen schritten, was ich auch probiert habe aber nach knapp 2 seiten hatte ich immer noch keine lösung un hab immer wieder fehler gemacht so jetzt meine frage muss es wirklich genau wie bei einer endlichen matrix bestimmen oder gibt es einen anderen weg bitte um hilfe danke im voraus
30.12.2011, 23:08	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich würde an deiner Stelle mir erst mal für kleine n, also vielleicht n=1,2,3 die Matrizen hinschreiben und per Hand invertieren. Oft lässt sich dann schon ein gewisses Muster erkennen. Das kannst Du dann etwa über Induktion zeigen. Übrigens ist deine Matrix sehr wohl endlich, da n endlich ist. Liebe Grüße
31.12.2011, 10:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} A = \left( \alpha_{ij} \right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_{ij} = 1 + \frac{\delta_{ij}}{a_j} \end{eqnarray}$ soll invertiert werden ( $\begin{eqnarray} \delta_{ij} \end{eqnarray}$ sei das Kronecker-Delta). Ich bin, wie von dr.morrison vorgeschlagen, vorgegangen. Im Falle $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ habe ich die inverse Matrix ausgerechnet, und zwar nach dem klassischen Algorithmus: Rechts neben die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ schreibt man die Einheitsmatrix. Und während man nun die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch elementare Umformungen auf die Einheitsmatrix bringt, wird aus der Matrix rechts, wenn man dieselben elementaren Umformungen parallel auf sie anwendet, die inverse Matrix von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Ich empfehle dir, dies auch zu probieren. Durch unvollständige Induktion habe ich für $\begin{eqnarray} A^{-1} = B = \left( \beta_{ij} \right) \end{eqnarray}$ das Folgende erhalten: $\begin{eqnarray} \beta_{ij} = a_i \delta_{ij} - \frac{a_i a_j}{1 + \alpha} \ \ \text{mit} \ \ \alpha = a_1 + a_2 + \ldots + a_n \end{eqnarray}$ Wenn man die Formel erst einmal hat, kann man sie durch Multiplizieren der Matrizen verifizieren. Ist $\begin{eqnarray} \gamma_{ik} \end{eqnarray}$ das Element der Produktmatrix $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ in der $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -ten Spalte, dann gilt bekanntlich $\begin{eqnarray} \gamma_{ik} = \sum_j \alpha_{ij} \beta_{jk} \end{eqnarray}$ Und jetzt muß man nur einsetzen und konzentriert rechnen, dann bekommt man tatsächlich $\begin{eqnarray} \gamma_{ik} = \delta_{ik} \end{eqnarray}$ .
01.01.2012, 17:26	Gradient17	Auf diesen Beitrag antworten »
170292 Tut mir leid aber ich versteh nicht so recht wie die vollst. Induktion in diesem fall aussieht und wie du auf das Ergebnis für Beta gekommen bist. Könntest du deine Zwischenschritte vielleicht nochmal erläutern?
02.01.2012, 23:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich habe ich diese Fragen alle in meinem Beitrag schon beantwortet. Höchstens könnte einer fragen, was ich mit "unvollständiger Induktion" meine. Nun, ich habe das Ergebnis, vom Fall $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ ausgehend, "erraten". Wie man es zu verifizieren hat, steht auch schon da.

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