konvexes polyeder mit 3- oder 6-eck

30.12.2011, 14:52	MFI	Auf diesen Beitrag antworten »
konvexes polyeder mit 3- oder 6-eck Meine Frage: Hallo Mathematiker! Ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich leider nicht sicher bin, wie ich den Beweis angehen soll: Wir betrachten ein konvexes Polyeder, bei dem jede Seiten ein (nicht notwendig regelmäßiges) Drei- oder Sechseck ist. Zeigen Sie: Hat jede Ecke den Grad 3, so besitzt das Polyeder genau 4 dreieckige Seiten. Meine Ideen: I. Ansatz: Bisher erwäge ich mit der eulerschen Polyederformel an die Sache ranzugehen. II. Ansatz: Eine Ecke betrachten und Fallunterscheidung, bzgl. der 3 Seiten die sich an dieser Ecke treffen können. Was ist vielversprechender?
30.12.2011, 15:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Eulerschen Polyederformel geht es auf jeden Fall. Es seien $\begin{eqnarray} e,k,f \end{eqnarray}$ Ecken-, Kanten- und Flächenzahl des Polyeders sowie $\begin{eqnarray} d,s \end{eqnarray}$ die Anzahlen von Dreiecken bzw. Sechsecken. Die Polyederformel sagt: $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ e-k+f = 2 \end{eqnarray}$ Die Dreiecke und Sechsecke zusammen bilden sämtliche Flächen: $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ d+s = f \end{eqnarray}$ Jede Kante liefert zwei Ecken. In der Summe wird aber jede Ecke dreimal gezählt (weil jede Ecke den Grad 3 besitzen soll): $\begin{eqnarray} \text{(3)} \ \ \text{Gleichung mit} \ k,e \end{eqnarray}$ Jedes Dreieck liefert 3 Kanten, jedes Sechseck deren 6. Beim Summieren wird aber jede Kante doppelt gezählt (weil sie ja zwei Flächen angehört): $\begin{eqnarray} \text{(4)} \ \ \text{Gleichung mit} \ d,s,k \end{eqnarray}$ Vier Gleichungen, fünf Unbekannte: Daraus kann man eine Gleichung basteln, die nur noch die Unbekannten $\begin{eqnarray} s,d \end{eqnarray}$ enthält. Und damit kennt man den Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Dreiecke und Sechsecke.

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