Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer

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30.12.2011, 16:26	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer Hallo zusammen, ich benötige mal wieder eure Hilfe und zwar geht es um Stetigkeit von Funktionen. Ich soll untersuchen, in welchen Punkten die Funktion $\begin{eqnarray} g: \mathbb R \to \mathbb R , g(x)=(x-\left[x\right] )(x+\left[x\right]) \end{eqnarray}$ stetig ist. Mein erster Gedanke war, dass mir die dritte binomische Formel vielleicht irgendwie hilft, aber nachdem mich der Gedanke auch nicht wirklich weitergebracht hat, habe ich ihn verworfen. Dann hätte ich ja im Grunde einfach $\begin{eqnarray} g(x)=x^2-\left[x\right]^2 \end{eqnarray}$ , oder? Ich habe stattdessen überlegt, was ich über die einzelnen Bestandteile der Funktion schon weiß. Das wäre einmal, dass x stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist (weils ja ein Polynom ist). Außerdem ist bekannt, dass [x] unstetig in allen $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist und stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb R \backslash \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Also weiß ich an dieser Stelle doch eigentlich schon, dass g auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash \mathbb Z \end{eqnarray}$ als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig ist, oder ist meine Überlegung falsch? Kann ich nun ausschließen, dass f in allen anderen Punkten unstetig ist, da [x] dort unstetig ist, oder muss ich das noch irgendwie zeigen? Wenn ja, wie mache ich das? Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann! LG LAgirly
30.12.2011, 18:31	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
also du kannst (x-Floor(x)) * (x+floor(x)) auch alls x^2-(floor(x))^2 (wobei fllor hier deine "gaußklammern" sind) für die stetig keit kannst du jetzt ja ganz normalmit limx(x->x_0 f(x_0) = f(x) (bzw lim(x->0) f(x+h) = f(x)) und für x_0 nimmst du eine ganze zahl.
31.12.2011, 13:18	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz. Also ich betrachte jetzt nach Anwenden der binomischen Formel die Funktion $\begin{eqnarray} g: \mathbb R \to \mathbb R , g(x) = x^2 - [x]^2 \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} g(x_0) = g(x) \end{eqnarray}$ für die Stetigkeit prüfen, wobei ich für x_0 eine ganze Zahl nehme. Hinter diesen Schritt steige ich jedoch noch nicht wirklich hinter. Oder doch, vielleicht ansatzweise. Also ich habe ja bereits die Stetigkeit der Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Ich muss also noch die Stetigkeit in den ganzen Zahlen prüfen, deshalb $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Bin ich soweit noch richtig? Aber nun komme ich dennoch nicht wirklich weiter...
01.01.2012, 10:46	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst dir überlegen, was passiert mit $\begin{eqnarray} [x_o] \end{eqnarray}$ (x_o sei eine ganze Zahl) wenn du den rechts bzw linksseitigen grenzwert bildest.
01.01.2012, 20:08	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Der rechts- und der linksseitige Grenzwert sind dann =0, oder? Also wäre g(x) auch in den ganzen Zahlen stetig?
01.01.2012, 20:38	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
nein! Der links- bzw rechtsteitige grenzwert sind nicht = 0! wenn du zB den fall $\begin{eqnarray} x -> 5^- \end{eqnarray}$ untersuchst. Bekommstdu bei [x] eine4 raus! dann hast du $\begin{eqnarray} (5^-)^2 - (4^2) \neq 0 \end{eqnarray}$
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02.01.2012, 21:23	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, natürlich hast du recht! Mein Denkfehler!!! Also stimmen Rechts- und Linksseitiger Grenzwert nicht überein, was ja bedeutet, dass die Funktion nicht stetig ist in Z... Aber wir kann ich das mit dem Grenzwert nun formal richtig aufschreiben? Also 5 als ganze Zahl ist ja nur ein Beispiel... Oder reicht das Beispiel dafür aus, um zu zeigen, dass es für alle ganzen Zahlen nicht stetig ist? Eigentlich nicht, oder?
03.01.2012, 09:00	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst es schon allgemein zeigen, also die 5 durch ein k erstezten
03.01.2012, 11:05	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich versuch es also mal: Sei $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Linksseitiger Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to k} g(x) = \| k^2 - (k-1)^2\| \end{eqnarray}$ Rechtsseitiger Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to k} g(x) = \| k^2 - k^2\| = 0 \end{eqnarray}$ => Rechtsseitiger und Linksseitiger Grenzwert stimmen nicht überein => Die Funktion ist unstetig auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ Wäre meine Lösung so korrekt?
03.01.2012, 12:46	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich weiß nicht so recht wo deien Betragsstriche her kommen, aber im grunde ist es richtig!
03.01.2012, 13:15	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm die Betragsstriche hab ich dahingemacht, weil ich dachte, dass es ansonsten einen Unterschied macht, ob man in den negativen oder in den positiven Zahlen ist... Aber das scheint dann schwachsinn zu sein, nicht?
03.01.2012, 16:59	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
das vorzeichen ist egal wichtig ist, dass das ergebniss nicht 0 wird das solltest du noch zeigen!
03.01.2012, 17:08	LAgirly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also lass ich die Betragsstriche weg Meinst du das so mit dem Zeigen? $\begin{eqnarray} k^2-(k-1)^2 = k^2 -(k^2-2k+1)=2k-1 \end{eqnarray}$ und das ist ja ungleich 0 wenn k eine ganze Zahl ist...

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