Integralrechnung e^2x; sin^3(x)*cos^3(x)

30.12.2011, 21:27

Pref!x

Integralrechnung e^2x; sin^3(x)*cos^3(x)

Hallo Leute,

ich sitze gerade an meiner Klausurvorbereitung und die ersten 10 Übungszettel liefen ganz gut. Die letzten 2 wollen mich aber gerade ärgern. Denke aber, dass ihr mir helfen könnt.

Folgende 2 Aufgaben behandeln die Problematik. Es gibt zwar mehr, aber ich denke, wenn ich diese verstanden habe, bekomme ich den Rest hergeleitet:

Aufgabenstellung: Bestimmen sie die folgenden unbestimmten Integrale:

1. $\begin{eqnarray*} \int\frac {e^{2x}}{1+e^x}dx \end{eqnarray*}$

Die Lösung schlägt vor:

Substitution: $\begin{eqnarray*} u=1+e^x \end{eqnarray*}$

Dann komme ich zu: $\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{2x}}{ue^x}du \end{eqnarray*}$ und habe nichts gewonnen, weil ich selbst nach dem kürzen noch ein x in meinem Ausdruck habe.

Die Lösung soll lauten: $\begin{eqnarray*} e^x-ln(1 + e^x) + C \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \int \sin^3(x)*cos^3(x)dx \end{eqnarray*}$

Hier lautet der Vorschlag der Lösung : $\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$ zu substituieren.
Und wieder komme ich dann bei: $\begin{eqnarray*} \int u^3*\cos^3(x)*\frac{du}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ nicht weiter.

Die Lösung soll hier: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot \sin^4(x) - \frac{1}{6} \cdot \sin^6(x) + C \end{eqnarray*}$ lauten.

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir in irgendeiner Weise weiterhelfen könntet. Es ist zwar Stoff aus dem Studium, aber ich denke im Gegensatz zu dem Schwierigkeitsgrad der Hochschulmathematik noch so einfach, dass ich in diesem Bereich richtig bin.

Schönes Wochenende und einen guten Rutsch
Pref!x

30.12.2011, 21:34

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RE: Integralrechnung e^2x; sin^3(x)*cos^3(x)
.
bei beiden Beispielen solltest du den verbleibenden Term (den mit dem x ) auch noch
mittels der Substitutionsgleichung auf die neue Variable u umschreiben

versuchs mal:

30.12.2011, 21:57

Pref!x

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Ok, das verstehe ich. Damit kann ich das erste lösen.

Dann steht ja u² im zähler und ich komme klar.

für die 2te Gleichung brauche ich dann verknüpfungen wie $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ um klarzukommen. Die muss ich mir dann gleich mal raussuchen.

Danke dir schonmal, denke ich sollte die restlichen Gleichungen damit auch lösen können. Je nachdem, was ich da finde und wie ich klarkomme, melde ich mich nochmal.

Pref!x

31.12.2011, 15:36

Pref!x

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Anscheinend war ich doch etwas zu schnell, denn ich stoße wieder auf die gleichen Probleme.

1.
$\begin{eqnarray*} u=1+e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{e^x} \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich entweder:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{2x}}{ue^x} du = \int \frac{e^x}{u} du \end{eqnarray*}$ was mich nicht weiterbringt, weil noch ein x in der Gleichung steht. (Oder darf ich das auch jetzt im Nachhinein durch u ersetzen?)

oder ich setze u sofort ein und habe das e^x im Nenner:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{u^2}{ue^x}du=\int \frac{u}{e^x} du \end{eqnarray*}$

2. Ich habe zwar Potenzen von Winkelfunktionen und auch die Beziehungen gefunden, sehe aber nichts, was mich weiterbringt.
Formeln wie: $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=\frac{1}{4}(3\sin(x)-\sin(3x)) \end{eqnarray*}$ führen ja auch nicht weiter.

Es wäre schön, wenn mich nochmal jemand in die richtige Richtung stoßen könnte...

MfG und einen guten Rutsch
Pref!x

31.12.2011, 17:21

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Zitat:

Original von Pref!x

1.
$\begin{eqnarray*} u=1+e^x \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{2x}}{ue^x} du = \int \frac{e^x}{u} du \end{eqnarray*}$ was mich nicht weiterbringt,

weil noch ein x in der Gleichung steht.

du hast also nicht gelesen, was ich dir geraten habe: dass du die Terme mit der alten
Variablen x alle auf die neue Variable u umschreiben sollst (steht doch alles schon oben) Wink

nun, bei 1. substituierst du $\begin{eqnarray*} u=1+e^x \end{eqnarray*}$

es ist dann also $\begin{eqnarray*} e^x = u - 1 \end{eqnarray*}$

und wenn du dies einsetzt, dann sieht es nachher so aus:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{2x}}{ue^x} du = \int \frac{e^x}{u} du = \int \frac{u-1}{u} du = \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du \end{eqnarray*}$

und vielleicht kommst du nun doch noch selbst weiter verwirrt

ok?

nebenbei:
bei 2. geht das analog - mit :

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)= 1-sin^2(x) = 1-u^2 \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 23:19

Pref!x

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RE: Integralrechnung e^2x; sin^3(x)*cos^3(x)
Nabend

Zitat:

du hast also nicht gelesen, was ich dir geraten habe: dass du die Terme mit der alten Variablen x alle auf die neue Variable u umschreiben sollst (steht doch alles schon oben)

Ja das hatte ich falsch aufgefasst und deswegen nochmal

Zitat:

Oder darf ich das auch jetzt im Nachhinein durch u ersetzen?

gefragt. Aber egal. Ich danke dir schonmal.

Als Lösung erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} u-\ln(u)+c \end{eqnarray*}$

Rücksubstituiert:

$\begin{eqnarray*} 1+e^x-\ln(1+e^x)+c \end{eqnarray*}$

Wird die 1 dann von dem c verschluckt? Weil Sie in der Lösung nicht mehr aufgeführt wird.

$\begin{eqnarray*} e^x - \ln(1 + e^x) + C \end{eqnarray*}$

Ansonsten habe ich gerade weitergerechnet und bin noch auf 2 weitere Probleme gestoßen, bei denen ich nicht weiterkomme.

1. $\begin{eqnarray*} \int_{e^-1}^e \frac{\left| \ln(x) \right|}{3x} dx \end{eqnarray*}$

Hier finde ich keinen vernünftigen Ansatz. Der Flächeninhalt interessiert mich hier weniger als die Stammfunktion.

2. $\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2+x+\sqrt{x+1}}{x+1}dx \end{eqnarray*}$

Hier bin ich wie folgt vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} u=x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=u-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{u^2-2u+1}{u}+\frac{u-1}{u}+\frac {\sqrt{u}}{u}du=\int u-1+u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}u^2-u+2*u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist leider falsch. Ich habe beim Nachrechnen schon einen Fehler gefunden, aber es muss noch einer drin sein, den ich leider nicht finde.

Würde mich freuen, wenn einer von euch ihn findet und ihn mir nennt.

MfG
Pref!x

02.01.2012, 01:04

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RE: Integralrechnung e^2x; sin^3(x)*cos^3(x)

Zitat:

Original von Pref!x

Wird die 1 dann von dem c verschluckt? Weil Sie in der Lösung nicht mehr aufgeführt wird.

ja, denn C=c+1 ist (wie c) eine beliebige reelle Konstante

1. $\begin{eqnarray*} \int \frac{\left| \ln(x) \right|}{3x} dx \end{eqnarray*}$

Hier finde ich keinen vernünftigen Ansatz.

substituiere u=ln(x)
nebenbei: hast du die Betragszeichen richtig gesetzt?

2. $\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2+x+\sqrt{x+1}}{x+1}dx \end{eqnarray*}$

machs doch so:

$\begin{eqnarray*} \int\! x \, dx + \int\! \left(x+1\right) ^{-\frac{1}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

(beim zweiten Integral u=x+1 substituieren)

02.01.2012, 01:31

Pref!x

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Zitat:

nebenbei: hast du die Betragszeichen richtig gesetzt?

über richtig und falsch lässt sich streiten. Kam mir auch schon komisch vor, steht aber so in der Aufgabenstellung.

Die Antwort zu 1. und vor allem meine vorhergeganene Lösung dazu zeigt mir wieder, dass ich heute erst gar nicht hätte aufstehen sollen. xD Einfache Termumformung sollte man schon können...

Bei der zweiten Aufgabe verstehe ich allerdings deine Umformung nicht. Das erste, was ich gemacht habe war mit dem Taschenrechner zu prüfen, ob das wirklich das gleiche ist. Und bist jetzt fand ich mich gar nicht so schlecht in Mathe, aber könntest du mir wohl ein oder zwei Zwischenschritte aus deiner Herleitung geben!?

$\begin{eqnarray*} \int\! x \, dx + \int\! \left(x+1\right) ^{-\frac{1}{2} } \, dx = \int x + \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \int \frac{x^2+x+\sqrt{x+1}}{x+1}dx \end{eqnarray*}$

Nach der Umformung komme ich auf jeden Fall klar. Aber das ist mit Sicherheit kein Klausurniveau der E-Technik Mathe 1. Von daher geht es nur noch um das Verständnis für mich.

Ich danke dir für deine Bemühungen.
Pref!x

02.01.2012, 08:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pref!x
Und bist jetzt fand ich mich gar nicht so schlecht in Mathe, aber könntest du mir wohl ein oder zwei Zwischenschritte aus deiner Herleitung geben!?

Rechne die Umformung rückwätrs und du wirst sehen. So schwer ist das nun wirklich nicht.

02.01.2012, 09:49

original

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falls dir Rückwärtsgehen auch schwerfällt -
hier der erste Schritt vorwärts:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+\sqrt{x+1}}{x+1}= \frac{x^2+x}{x+1} + \frac{\sqrt{x+1}}{x+1} \end{eqnarray*}$

kannst du nun problemlos alleine weiterlaufen?
nebenbei: du kennst ja das Ziel - oder ?

02.01.2012, 17:58

Pref!x

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Zitat:

Rechne die Umformung rückwätrs und du wirst sehen. So schwer ist das nun wirklich nicht.

Nun ja rückwärts ist das Ganze meiner Meinung nach komplizierter...

Aber wie gestern schon angekündigt hätte ich auf mich selbst hören und einfach ins Bett gehen sollen.

Eben war das ganze schon gar nicht mehr so schwer...

Ich danke dir vielmals original.

Ich hoffe allerdings, dass ich mit dem schwachsinn jetzt durch bin smile

MfG
Björn

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