Frage zu zwei Grenzwertaufgaben

12.01.2007, 17:17

bene_

Frage zu zwei Grenzwertaufgaben

Hallo,

ich hab hier zwei Aufgaben bei denen bin ich mir am Ergebenis bzw. Lösungsweg nicht ganz sicher:

$\begin{eqnarray*} 1. \lim_{n \to \infty } \frac {\ln (3n-5) + \log_7n}{\log_4n} \end{eqnarray*}$

Als Lösung hab ich herausbekommen: $\begin{eqnarray*} \ln 4 + \log_74 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das?

Die zweite Aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2n^3+1} \end{eqnarray*}$

Hier hab ich es mit folgendermaßen Versucht: ich bin davon ausgegangen, dass die Lösung 1 ist. ( $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ haben wir in der Vorlesung schon gehabt). Dann hab ich es versucht, mit der gleichen Vorgehensweise wie im Script zu machen:

Annahme: $\begin{eqnarray*} \mid \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2n^3+1}-1 \mid \to 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2n^3+1}-1 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {(\sqrt[n]{2n^3+1}-1) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(\sqrt[n]{2n^3+1})^k} {\sum_{k=0}^{n-1}~(2n^3+1)^{\frac{k}{n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac {2n^3} {\sqrt{2n^3+1}(\frac{2n^3+1}{2}-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {1} {\sqrt{2n^3+1}} \cdot \frac {4n^3}{2n^3-1} \end{eqnarray*}$

Der erste Faktor geht jetzt gegen Null und der zweite gegen 2. Das gesamte Produkt dann also gegen Null. Damit ist bewiesen, dass der Grenzwert die angenommene 1 ist.

Kann mir jemand sagen, ob die Vorgehensweise richtig ist und wenn ja, wie funktioniert die Abschätzung von der drittletzten in die zweitletzte Zeile genau. Ich kann das aus dem Script nicht mehr ganz nachvollziehen.

13.01.2007, 11:50

Dual Space

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RE: Frage zu zwei Grenzwertaufgaben

Zitat:

Original von bene_
$\begin{eqnarray*} = \frac {(\sqrt[n]{2n^3+1}-1) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(\sqrt[n]{2n^3+1})^k} {\sum_{k=0}^{n-1}~(2n^3+1)^{\frac{k}{n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac {2n^3} {\sqrt{2n^3+1}(\frac{2n^3+1}{2}-1)} \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt versteh ich nicht so ganz. verwirrt

13.01.2007, 12:17

bene_

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RE: Frage zu zwei Grenzwertaufgaben
Ich auch nicht ganz, wie gesagt, ich hab nur das eine Beispiel aus dem Script auf die Werte übertragen. Ich habs jetzt hier nochmal genauer gefunden, mir hilft das aber leider auch nicht weiter.

Zähler:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{2n^3+1}-1) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(\sqrt[n]{2n^3+1})^k = 2n^3+1-1 = 2n^3 \end{eqnarray*}$

Nenner:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~(2n^3+1)^{\frac{k}{n}} \geq \sqrt{2n^3+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq \frac {n}{2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann damit jemand was anfangen.

13.01.2007, 12:20

Dual Space

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RE: Frage zu zwei Grenzwertaufgaben

Zitat:

Original von bene_
Zähler:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{2n^3+1}-1) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}~(\sqrt[n]{2n^3+1})^k = 2n^3+1-1 = 2n^3 \end{eqnarray*}$

Das müsste man gesondert zeigen.

Zitat:

Nenner:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~(2n^3+1)^{\frac{k}{n}} \geq \sqrt{2n^3+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq \frac {n}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist klar.

13.01.2007, 12:55

bene_

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RE: Frage zu zwei Grenzwertaufgaben
Jetzt ist mir alles klar. Den Zähler kann man über die geometrische Summe ganz einfach so vereinfachen.

Jetzt bleibt nur noch die Frage, ob das Ergebnis von der ersten Aufgabe stimmt.

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