Summe von langsam variierenden Funktionen

30.12.2011, 23:20	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von langsam variierenden Funktionen Hallo! Im Buch "Probability" von Allan Gut wird gezeigt, dass die Summe von von zwei langsam variierenden Funktionen, wieder eine langsam variierende Funktion ist. Seien $\begin{eqnarray} L_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_2(x) \end{eqnarray}$ langsam variierende Funktionen unnd $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ . Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} L_1(x)+L_2(x) \end{eqnarray}$ l angsam variierend ist. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{{{L_1}(tx) + {L_2}(tx)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} = \frac{{{L_1}(tx)}}{{{L_1}(x)}} \cdot \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} + \frac{{{L_2}(tx)}}{{{L_2}(x)}} \cdot \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}}<br /> \end{eqnarray}$ Lasse nun $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ und habe: $\begin{eqnarray} <br /> \to {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} + {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}}<br /> \end{eqnarray}$ Warum ist nun: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array}{l}<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} = 1\\<br /> \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} = 0<br /> \end{array}<br /> \end{eqnarray}$ Ich füge auch die Seiten aus dem Buch ein, zum Vergleich (Seite 567 Punkt d): http://i42.tinypic.com/2mrz1c7.png http://i41.tinypic.com/11h6ner.png
31.12.2011, 00:30	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sume von langsam variierenden Funktionen Hallo, kleine Anmerkung: Nach dem Grenzübergang musst du $\begin{eqnarray} t^\rho \end{eqnarray}$ schreiben, wenn du schon im Vergleich zum Buch x und t vertauscht. Meinst du eigentlich wirklich langsam variierend oder regulär variierend, wie im Buch steht? Weil sonst kannst du ja sofort $\begin{eqnarray} \rho=0\to t^\rho = 1 \end{eqnarray}$ setzen. Ohne das Thema jetzt komplett verstanden zu haben, führt das, wonach du gefragt hast, zu einem Widerspruch, denn: Für $\begin{eqnarray} L_1=L_2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_1}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_2}(x) + {L_2}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_2}(x) + {L_1}(x)}}\end{array} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} 1\neq0 \end{eqnarray}$ . LG Hoodaly
31.12.2011, 12:49	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Du hast Recht, ein paar Sachen habe ich nicht klar genung dargestellt. Ich meine langsam variierend. Aber das macht nichts, den man kann den Beweis für regulär variierend nehmen und $\begin{eqnarray} \rho_1 = \rho_2 = \rho = 0 \end{eqnarray}$ setzen. Ja, da muss ein t sein, habe es korrigiert. Ja, zu dem Widerspruch bin ich auch gekommen. Deswegen frage ich mich was der Autor meint... Edit: Ich merke gerade, dass ich im falschen Forum bin: "Schulmathematik"? Wie kann man den Beitrag verschieben?
31.12.2011, 19:46	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habs. O.b.d.A. konvergiere $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ schneller gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ (Fall 1), es sei denn, dass $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ gleichschnell gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ konvergieren. (Fall 2). Fall 1: $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x)}}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ konvergiert schneller gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x)}}=0 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x)}}}}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_2}(x)}}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ konvergiert langsamer gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_2}(x)}}=\infty \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_2}(x)}}}}=0 \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x)}}=1 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x)}}}}=\frac 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_2}(x)}}=1 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1}}{{1 + \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_2}(x)}}}}=\frac 12 \end{eqnarray}$ Spezialfall $\begin{eqnarray} L_1=L_2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} + {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_2}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_2}(x)}} \\= {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_1}(x)}} + {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{L_1}(x)}}{{{L_1}(x) + {L_1}(x)}} \\= {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1\cdot{L_1}(x)}}{{2\cdot{L_1}(x)}} + {t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1\cdot{L_1}(x)}}{{2\cdot{L_1}(x)}}\\={t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac 12) +{t^\rho }\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac 12) = {t^\rho }<br /> \rule{1ex}{1ex} \end{eqnarray}$ Bei Fall 2 bin ich mir nicht sicher, aber das wird sicher jemand bestätigen/widerlegen können. LG Hoodaly Edit: Okay, woher weiß ich, dass die Funktionen gegen Unendlich konvergieren... Hm... Wahrscheinlich kann man das noch irgendwie verallgemeinern
09.01.2012, 20:07	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht sehr gut aus und nun ist mir einiges klar geworden. Viele Dank für deine Mühe! Nun bleibt nur noch die Frage: "Okay, woher weiß ich, dass die Funktionen gegen Unendlich konvergiere" Wieso ist das so?

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