orthogonale Projektion bestimmen

31.12.2011, 08:11	Carina168	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Projektion bestimmen Meine Frage: Hallo! also die Frage ist folgende: Sei V:= $\begin{eqnarray} R^{4} \end{eqnarray}$ versehen mit dem Standardskalarprodukt und U $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ V der Unterraum, der durch die Menge S:={(2,-1,-2,4), (-2,1,-5,5), (-1,3,7,11)} aufgespannt wird. a) Wenden Sie das Gram Schmidt-Verfahren auf S an und bestimmen Sie so eine ONB von U. b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von x=(-11,8,-4,18) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V auf U. Meine Ideen: also die Aufgabe a) mit Gram-Schmidt müsste ich richtig haben: B= { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } Dann habe ich die Vektoren für die ONB noch normiert mit 5, $\begin{eqnarray} \sqrt{30} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{155} \end{eqnarray}$ . bei Aufgabe b) habe ich jetzt leider nicht so die Ahnung: ich kenne für orthogonale Projektion folgende Formel: x'= <x,v1>v1 + <x,v2>v2 + <x,v3>v3 1. Frage: welche Werte setze ich für die v ein? die aus S, aus der OGB oder der ONB? 2. Frage: man muss doch dann noch x-x' rechnen um das orthogonale raus zu bekommen oder? Ich habe auf jeden Fall jetzt alle Möglichkeiten probiert und bei keiner Version einen Vektor errechnet, der zu den anderen dann irgendwie orthogonal wäre :-( Ich wäre euch für Hilfe sehr dankbar!
31.12.2011, 09:22	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zu deinen Ideen: 1) die ONB, die von dir erwähnte Formel ist in der Form für ONB´s formuliert. (dürfte in den Voraussetzungen der Formel stehen.) 2) richtig. Und soweit ich´s sehe ist B eine OGB.
31.12.2011, 12:31	Carina168	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal! Ich habe das jetzt mit der ONB gerechnet, und damit aber wieder genau den Vektor x ausgerechnet. Heißt das, dass x schon die orthogonale Projektion ist? Weil wenn ich jetzt x-x' rechne, bekomme ich ja den Nullvektor raus. Das ist ja auch bischen komisch oder?
02.01.2012, 10:02	Carina168	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte bitte nochmal jemand versuchen zu antworten? Das wäre recht wichtig
02.01.2012, 13:12	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Das x-x'=0 ist, ist nicht so komisch, denn es ist $\begin{eqnarray} x \in U \end{eqnarray}$ und ersters muss damit gelten. Solltet ihr die Orthogonale Projektion als eine Abb. $\begin{eqnarray} p : V \to U \end{eqnarray}$ definiert haben dann ist p(x)=x'=x (die orthog. Proj. eingeschränkt auf U ist ja die Identität) (laut Wiki ist das die gängige Def.). Wovon ich ausging war $\begin{eqnarray} p : V \to U \perp \end{eqnarray}$ , dann wäre p(x)=x-x'

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