Minimum / Maximum von Zufallsvariablen

31.12.2011, 09:55	CHarlie2	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum / Maximum von Zufallsvariablen Hallo, ich habe mich gerade gefragt, wie man vorgeht, wenn man eine neue Zufallsvariable aus dem Maximum bzw. Minimum einer folge von anderen, unabhängigen und identischen Zufallsvariablen definiert. Zum Beispiel nehme man X1,X2,...,Xn diese seien gleichverteilt auf [0,z] Nun definiert man sich eine neue Zufallsvariable zu: Y=max{X1,X2,...,Xn} Nun möchte ich wissen, wie diese Zufallsvariable verteilt ist. Dazu möchte ich die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion bestimmen. Dabei habe ich jedoch ein paar Schwierigkeiten. Zum einen, was sagt der Maximumsoperator hier konkret aus? Die einzelnen Xi sind doch im Grunde genommen Funktionen, die Funktionswerte zwischen 0 und z mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Wie bestimme ich da das Maximum von X1 bis Xn? Zum anderen habe ich keine Idee, wie ich die Dichte bestimmen kann. Gibt es da einen universellen Ansatz, den ich auch bei anders verteilten X bzw. z.B. beim Minimumsoperator anwenden kann? Liebe Grüße
31.12.2011, 10:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimum / Maximum von Zufallsvariablen Das geht ganz einfach! Man beginnt mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_Y(y) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Die Verteilungsfunktion ist ja ganz allgemein definiert durch $\begin{eqnarray} F_Y(y)=P(Y \leq y) \end{eqnarray}$ Damit das Maximum $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ kleiner als y ist, müssen alle $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ kleiner als y sein. Wenn die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig sind, lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür mittels der Produktregel durch die Wahrscheinlichkeit, dass die einzelnen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ kleiner y sind, ausdrücken. Und $\begin{eqnarray} P(X_i \leq y) \end{eqnarray}$ ist ja definitionsgemäß die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ . Damit ist die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ auf die Verteilungsfunktionen der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ zurückgeführt. Und die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ bekommt man bekanntlich durch Ableitung der Verteilungsfunktion. Für das Minimum geht man ganz ähnlich vor.
31.12.2011, 11:13	CHarlie2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Ersteinmal für das Maximum dafür habe ich ermittelt: F_Y(y)= 0, für y < 0 (y/z)^n, für 0<=y<z 1, für y>=z das abgeleitet ergibt: f_y(y)= (1/z)^n * n * y^(n-1) = n/z * (y/z)^(n-1), für y € [0,z] 0 sonst Das Minimum werde ich jetzt mal durchrechnen. Bleibt nur noch meine Verständnisfrage bezüglich der aussage des Maximums. Hast du da eine anschauliche Erklärung parat?
31.12.2011, 11:29	CHarlie2	Auf diesen Beitrag antworten »
So für das Minimum bin ich zweimal über das Gegenereignis gegangen: Ersteinmal nur die Verteilungsfunktion, da ich mir nicht sicher bin, ob alles stimmt. F_M(m)= 0, für m < 0 1-(1-m/z)^n, für 0<=m<z 1, für m>=z
31.12.2011, 11:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnungen sind richtig. Deine Frage zur Aussage des Maximums ist mir unklar. Das Maximum mehrerer Größen ist die größte von ihnen. Was soll man mehr dazu sagen?
31.12.2011, 11:45	CHarlie2	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eventuell ist auch meine Vorstellung von Zufallsvariablen total falsch. Ich verstehe diese wie folgt vor (kann wie gesagt auch vollkommen falsch sein). Zufallsvariablen sind Funktionen und ich denke da liegt mein Problem. Ich dachte immer, dass wenn man zum Beispiel einen Aktienkurs mit einer Zufallsvariable modelliert, die Zufallsvariable den Kursverlauf darstellt, also eine Funktion der Zeit ist, welche aber nicht genau bekannt ist. Nun kann man mit der Aussage über die Verteilung Rückschlüsse darauf ziehen, wie wahrscheinlich welcher Funktionswert ist. Aber ich denke, dass ist grundlegend Falsch. Kannst du eventuell anhand des Aktienkurses erklären, was eine Zufallsvariable ist, die den Kurs modelliert?
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31.12.2011, 14:33	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit solchen Fragen tue ich mich schwer. Einerseits möchte man sie mathematisch korrekt beantworten. Andererseits geht die rein mathematisch korrekte Antwort oft am Verständnisproblem des Fragestellers vorbei. Eine Zufallsvariable ist mathematisch tatsächlich als Abbildung/Funktion definiert, und zwar als messbare Abbildung eines Wahrscheinlichkeitsraums in einen Messraum. Als Messraum wählt man üblicherweise die reellen Zahlen. Bei einem Münzwurf gehören zu dem Wahrscheinlichkeitsraum z. B. die Ereignisse Kopf und Zahl. Diese kann man z. B. abbilden auf die reellen Zahlen 0 und 1. Diese Abbildung Kopf -> 0, Zahl -> 1 repräsentiert mathematisch die Zufallsvariable Münzwurf. Selbstverständlich könnte man die Abbildung auch anders wählen. Was unterscheidet nun die Zufallsvariable Münzwurf für eine ehrliche Münze von der Zufallsvariablen Münzwurf für eine getürkte Münze, bei der Kopf und Zahl nicht gleich wahrscheinlich sind. Der Unterschied liegt mathematisch darin, dass in den beiden Wahrscheinlichkeitsräumen unterschiedliche Maße definiert werden. Diese unterschiedlichen Maße im Wahrscheinlichkeitsraum induzieren über die Zufallsvariable als Abbildung in einen Messraum dann unterschiedliche Bildmaße im Messraum. Ein Bildmaß 1/4 für 0 und 3/4 für 1 beschreibt dann eine Zufallsvariable Münzwurf, die mit Wahrscheinlichkeit 1/4 Kopf (0) ergibt und mit Wahrscheinlichkeit 3/4 Zahl (1). Das tatsächlich interessante in der Stochastik steckt also in den Maßen, insbesondere in dem für den Messraum induzierten Maß. Dieses Maß lässt sich nun darstellen über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen bzw. über ihre Dichtefunktion bei einer stetigen Zufallsavariablen oder der Zähldichte bei einer diskreten Zufallsvariablen. Wenn man Stochastik nicht als mathematische Disziplin betreibt, sondern nur auf konkrete Probleme anwenden möchte, kann man sich meist ganz auf die Verteilungsfunktion bzw. Dichtefunktion konzentrieren. Es genügt, sich die Zufallsvariable als Größe vorzustellen, die unterschiedliche Werte annehmen kann. Ihre mathematische Definition als Abbildung eines Wahrscheinlichkeitsraums in einen Messraum tritt völlig in den Hintergrund. Bei Aktienkursen sind die Kurse als Elementarereignisse des Wahrscheinlichkeitsraum schon reelle Zahlen. Diese reellen Zahlen bildet man nun üblicherweise auf die gleichen reellen Zahlen als Teil des Messraums ab. Diese Abbildung definiert die Zufallsvariable Aktienkurs. Es ist klar, dass sich üblicherweise kein Schwein für diese triviale Abbildung interessiert. Alles was einen an den Aktienkursen interessiert, steckt in ihren Verteilungsfunktionen bzw. Dichtefunktionen. Die möglichen Aktienkurse zu verschiedenen Zeiten werden durch unterschiedliche Verteilungsfunktionen repräsentiert. Es ist eine reine Frage der Sprechweise, ob man das als eine von einem Parameter t (Zeit) abhängige Verteilungsfunktion bezeichnet. Es mag sein, dass diese Antwort an deinem Verständnisproblem ziemlich vorbeigeht. Dann musst du noch mal nachhaken. Als ergänzende Lektüre emphehle ich den Wikipediaartikel Zufallsvariable.

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