Potenzreihen-Grenzwert

31.12.2011, 10:13

Matze1991

Potenzreihen-Grenzwert

Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich folgender Reihe:
$\begin{eqnarray*} s = x - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 - + ... \end{eqnarray*}$

Also herausgefunden haben wir bisher, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{n} }{n} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Frage ist, ob ich nun wie folgt richtig bin:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \frac{\frac{(-1)^{(n+1)+1}\cdot x^{(n+1)} }{(n+1)} }{\frac{(-1)^{(n+1)\cdot x^{n} } }{n} } \end{eqnarray*}$

Also stimmt das soweit oder ist das falsch, wenn ja, was?

Edit: Im unteren Bruch im Zähler, sieht es aus wie ein z das soll aber ein x sein.

31.12.2011, 13:09

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert

Zitat:

Original von Matze1991

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich folgender Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\cdot x^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist, ob ich nun wie folgt richtig bin verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} ... \end{eqnarray*}$

warum willst du einen solchen Grenzwert bilden..
und dann lustigerweise noch für x gegen Null?

vermutlich willst du zur Ermittlung des Konvergenzbereichs das
Quotientenkriterium verwenden ?

Tipp:
.. dann schlag zu diesem Stichwort mal nach ..

31.12.2011, 13:53

Matze1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Anstatt mir einfach zu sagen, was genau ich falsch gemacht habe. Ja ich habe versucht das Quotientenkriterium zu nehmen. Wenn es falsch ist, bitte ich dich mir zu sagen, was genau ich denn falsch gemacht habe. Und ich habe schon nachgeschlagen, aber weiter als jetzt komme ich einfach nicht, sonst hätte ich mich nicht an das Matheboard gewendet.

31.12.2011, 14:50

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Hi,

also deine Potenzreihe ist ja von der Bauart $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Das Quotientenkriterium wird bei der Bestimmung des Konvergenzradius nur auf diese Folge angewendet. Da liegt also dein erster Fehler, da du das $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ mit rein ziehst.

Zweiter Fehler: Du lässt den Limes gegen 0 laufen, musst ihn allerdings gegen Unendlich laufen lassen.

Dritter Fehler: Du verwendest das falsche Qutientenkriterium und zwar das für die Frage, ob eine Reihe konvergiert. Das passiert am Anfang häufig, da muss man drauf achten. Das Kriterium, das du brauchst, lautet $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ .

Vierter Fehler ist also auch noch, dass du die Betragsstriche vergessen hast.

Beginne also mit $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}{\frac{(-1)^{(n+1)+1}}{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ und fahre dann damit fort.

Hoffe, ich konnte dir damit helfen!

Gruß

31.12.2011, 15:04

Matze1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Super, vielen vielen Dank !! smile

richtig spitzen Antwort....
Lasse ich bei der Bestimmung vom Konvergenzradius das x^n immer weg ?

31.12.2011, 18:16

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Kein Problem! smile

Zu deiner Frage: Ja das lässt du immer weg, du solltest dir dazu am besten noch mal genau veranschaulichen, wie so eine Potenzreihe aufgebaut ist. Sie ist im Allgemeinen von der Gestalt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt der Potenzreihe ist.

In deinem Fall war $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ , woraus auch folgt, dass der Radius, den du durch das Quotientenkriterium heraus bekommst, tatsächlich auch alle x sind, für die die Reihe konvergiert. Wäre der Entwicklungspunkt in deiner Reihe z.B. 3 gewesen, würde die Reihe für alle x von 3-r bis 3+r konvergieren.

Konkret: Du solltest als Radius ja 1 heraus bekommen haben. In deinem Fall konvergiert die Reihe also für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Im zweiten Fall würde sie für alle $\begin{eqnarray*} x \in (2,4) \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Der Radius an sich bleibt natürlich auch im zweiten Fall gleich 1. Aber ich denke es ist ganz gut, wenn man sich da auch mal veranschaulicht, was man eigentlich berechnet und wofür es gut ist.

Rutsch gut rein!

01.01.2012, 15:29

Matze1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Danke, super erklärt ! smile

Woher weißt du sowas?
Frohes neues Jahr wünsche ich dir!!

02.01.2012, 15:08

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Das wünsch ich dir auch!

Also ich hatte an der Uni gute Übungsleiter, das hilft schon mal sehr, den Stoff gut zu verstehen. Und das mit den Reihen hab ich speziell vor allem dann verstanden, als wir Taylorpolynome und die Taylorreihenentwicklung um verschiedene Entwicklungspunkte durchgenommen haben. Das kam bei uns im zweiten Semester dran. Das meiste versteht man immer mit einem gewissen Abstand ne Zeit später und vor allem durch gute Übungsaufgaben, so ging es mir zumindest bisher in meinem Studium.

02.01.2012, 15:42

Matze1991

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Coole Sache !!
Eine Frage habe ich doch noch:

Ich komme für den Radius irgendwie auf -1 ... Würdest du mir noch einmal kurz erläutern wie man auf 1 kommt?

02.01.2012, 20:11

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihen-Grenzwert
Wenn du auf -1 kommst, dann hast du doch als Radius 1, da du mit Betragsstrichen rechnest und |-1| = 1 smile

Neue Frage »

Antworten »

Potenzreihen-Grenzwert

Verwandte Themen