Substitution

31.12.2011, 11:14

Cheftheoretiker

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Substitution

Hallo,

ich will folgendes Integral knacken,

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{1-x}}dx \end{eqnarray*}$

Ansatz mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} t^2=1-x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{dt^2}{dx}=\frac{d(1-x)}{dx}=-1 \end{eqnarray*}$

Ist nun $\begin{eqnarray*} -dt^2=dx \end{eqnarray*}$

Macht das überhaupt Sinn? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 12:56

Mulder

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RE: Substitution
Nicht wirklich. Du solltest bei deiner Substitutionsvorschrift entweder nach t, oder nach x auflösen. Schreibe statt $\begin{eqnarray*} t^2 = {1-x} \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} t = \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ und bestimme dann dt/dx. Oder schreibe $\begin{eqnarray*} x = 1-t^2 \end{eqnarray*}$ und bestimme dx/dt. Das geht auch.

31.12.2011, 12:58

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Okay, vielen Dank! smile

smile

31.12.2011, 13:22

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Ich bin nun bei

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{d(\sqrt{1-x})}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dt*\sqrt{1-x}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1-t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{1-x}}dx=\int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}dt*2\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

Kann ich nun $\begin{eqnarray*} dt*\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ noch substituieren so das folgendes dort steht,

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}*2t dt \end{eqnarray*}$

Oder wie stelle ich das an? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 13:30

Mulder

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RE: Substitution
Das sollen jetzt zwei voneinander unabhängige Versuche sein, ja?

Zitat:

Original von hangman
Ich bin nun bei

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{d(\sqrt{1-x})}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dt*\sqrt{1-x}=dx \end{eqnarray*}$

Was passiert im letzten Schritt mit den -1/2, die zuvor noch da waren?

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1-t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{1-x}}dx=\int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}dt*2\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$

Kann ich nun $\begin{eqnarray*} dt*\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ noch substituieren so das folgendes dort steht,

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}*2t dt \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} x = 1-t^2 \end{eqnarray*}$ ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd t} = -2t \quad \Rightarrow \quad \dd x = -2t \dd t \end{eqnarray*}$

Mach's nicht so kompliziert. Zudem wieder Vorzeichenfehler!

31.12.2011, 13:31

original

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RE: Substitution

Zitat:

Original von hangman

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}*2t dt \end{eqnarray*}$

Oder wie stelle ich das an? verwirrt

verwirrt

versuche jetzt noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}*2t \end{eqnarray*}$ möglichst geschickt zu kürzen...
.

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31.12.2011, 13:35

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Ups,

$\begin{eqnarray*} dt*(-2\sqrt{1-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{1-x}}dx=\int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}dt*(-2\sqrt{1-x})=\int_{}^{} \frac{1-t^2}{t}(-2t)dt \end{eqnarray*}$

Jetzt korrekt? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 14:02

Mulder

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RE: Substitution
Ja, so passt es.

31.12.2011, 14:57

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Okay, ich habe noch eine Aufgabe,

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*e^{ax}dx=\int_{}^{}\frac{t}{a}*e^t \frac{dt}{a}=\frac{1}{a^2}\int_{}^{}t*e^t dt \end{eqnarray*}$

NR:

$\begin{eqnarray*} ax=t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{d(ax)}{dx}=a \Rightarrow \frac{dt}{a}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t}{a} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich denn nun am besten weiter? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 15:02

Mulder

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RE: Substitution
Du benötigst hier partielle Integration.

31.12.2011, 15:10

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Okay,

$\begin{eqnarray*} u(x)=t \Rightarrow u'(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^t \Rightarrow v(x)=e^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}x*e^{ax}dx=\int_{}^{}\frac{t}{a}*e^t \frac{dt}{a}=\frac{1}{a^2}\int_{}^{}t*e^t dt=\frac{1}{a^2}\left(t*e^t-\int_{}^{}1e^t dt\right)=\frac{1}{a^2}(t*e^t-e^t)+\alpha \end{eqnarray*}$

Nun noch die Resubstitution,

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{a^2}(ax*e^{ax}-e^{ax})+\alpha , a,\alpha\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

31.12.2011, 16:44

Mulder

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RE: Substitution
Stimmt so.

Übrigens: Zur reinen Ergebniskontrolle kannst du auch zum Beispiel hier das Integral bestimmen lassen.

31.12.2011, 16:46

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Cool, vielen Dank! smile

smile

31.12.2011, 17:11

Mulder

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RE: Substitution
Eine kleine Anmerkung allerdings noch:

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{a^2}(ax*e^{ax}-e^{ax})+\alpha , a,\alpha\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Wenn du für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ schon einen Definitionsbereich angeben möchtest, sollte der natürlich auch sinnvoll sein. Und $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist natürlich problematisch, weil dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$ nicht immer definiert ist. Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ fällt der Teil mit der e-Funktion ja ohnehin weg (das wird einfach 1) und es bleibt nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu integrieren (was dann einfach mit der Potenzregel geht).

Also: $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \, \, , \, \, a \in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

31.12.2011, 18:33

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Wie gehe ich denn am besten an folgendes Integral?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1}{x*ln(x)}dx \end{eqnarray*}$

Ich habe schon versucht das x wie auch den ln(x) zu substituieren, leider bin ich damit nicht weiter gekommen. Hat jemand einen Vorschlag? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 18:40

Mulder

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RE: Substitution
Die Substitution

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=t \end{eqnarray*}$

führt durchaus zum Ziel. Wenn du damit nicht weiter kommst, musst du deine Rechnung zeigen. Aber eigentlich ist das kein Problem. Vielleicht hilft folgendes: Du kannst es auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x \cdot \ln(x)} = \frac{\frac{1}{x}}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

Stichwort "Logarithmische Integration".

31.12.2011, 18:46

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Ich habe es nochmal durchgezogen und bin nun bei

$\begin{eqnarray*} ...=\int_{}^{} \frac{1}{x*t}*x dt \end{eqnarray*}$

Wie bringt mich das nun weiter? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 18:47

Mulder

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RE: Substitution
Naja, es ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie wäre es also, wenn du einfach mal kürzen würdest?

31.12.2011, 18:52

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Oh man Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich bin glaub schon zu lange dran ...

$\begin{eqnarray*} ...=\int_{}^{} \frac{1}{x*t}*x dt=\int_{}^{} \frac{1}{t}dt=ln(t)+\alpha \end{eqnarray*}$

Soll ich in den Logarithmus einfach in $\begin{eqnarray*} ln(t) \end{eqnarray*}$ knallen?

$\begin{eqnarray*} F(x)=ln(ln(x))+\alpha ,\alpha\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

31.12.2011, 18:56

Mulder

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RE: Substitution

Zitat:

Original von hangman
Soll ich in den Logarithmus einfach in $\begin{eqnarray*} ln(t) \end{eqnarray*}$ knallen?

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \ln(t) \end{eqnarray*}$ . Und ja, das ist eben wieder die Rücksubstitution, wie gehabt.

[Edit: Eventuell habe ich deinen Satz auch falsch verstanden. Da ist mir ein "in" zuviel in dem Satz. Deine Stammfunktion stimmt jedenfalls. ]

Durch Ableiten kann man ja auch schnell überprüfen, ob die Stammfunktion korrekt ist.

31.12.2011, 19:07

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Nächste Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{ln(x)}{x^2}dx=\int_{}^{}\frac{t}{x}dt=... \end{eqnarray*}$

NR:
$\begin{eqnarray*} t=ln(x) \end{eqnarray*}$

Ableitung:
$\begin{eqnarray*} dtx=dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kann aber nicht gekürzt werden... verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 19:11

Mulder

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RE: Substitution
Hier wieder partielle Integration.

Das x, das da jetzt noch steht, musst du vorher auch noch substituieren. Es darf nur noch t auftauchen, nichts mehr mit x.

31.12.2011, 19:13

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Ich hätte also

$\begin{eqnarray*} t=x \end{eqnarray*}$ substituieren müssen? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 19:15

Mulder

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RE: Substitution
Die Betonung liegt auf auch noch mitsubstituieren müssen. Wenn sich alles wegkürzt, wie im Beispiel vorher, ist alles okay. Aber hier bleibt ein x übrig, deine Substitution ist also noch nicht abgeschlossen. Wie gesagt: Es darf kein x mehr übrig bleiben.

Und natürlich nicht einfach t=x. Wenn ln(x)=t ist, was ist dann wohl x?

31.12.2011, 19:16

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Und das darf man, ich habe doch schon das t verwendet für die Substitution? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Und natürlich nicht einfach t=x. Wenn ln(x)=t ist, was ist dann wohl x?

Gute Frage... verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 19:18

Mulder

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RE: Substitution

Zitat:

Original von hangman
Gute Frage... verwirrt

verwirrt

Ernsthaft? geschockt

geschockt

Du wirst doch wohl $\begin{eqnarray*} \ln(x)=t \end{eqnarray*}$ nach x auflösen können??

31.12.2011, 19:22

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Hm, eigentlich weiß ich das nicht...

Da muss doch wohl irgendwas mit e raus kommen, wie macht man das denn? verwirrt

verwirrt

31.12.2011, 19:23

Mulder

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RE: Substitution
Jetzt aber mal ehrlich...

Einfach $\begin{eqnarray*} x=e^t \end{eqnarray*}$

Ersetz das und dann geht es mit partieller Integration weiter. Ein ähnliches Integral hatten wir doch vorhin schon.

31.12.2011, 19:27

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Also ist es dann? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} x=e^t \end{eqnarray*}$

Oh man... Big Laugh

Big Laugh

31.12.2011, 19:30

Mulder

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RE: Substitution
War das jetzt eine Frage? Du hast doch nur wiederholt, was ich schon geschrieben habe? Das liefert dann eben das neue Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{t}{e^t} \, \dd t = \int t \cdot e^{-t} \, \dd t \end{eqnarray*}$

-> Partielle Integration.

Ich melde mich nun auch bis übermorgen ab, da ich gleich weggehe und morgen auch noch Rumgehen angesagt ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Guten Rutsch!

31.12.2011, 19:37

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Danke, dir auch! smile

smile

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