Extremwertaufgabe Quader in Kegel - Seite 2

01.01.2012, 22:01

JuliaJulia

Mir ist noch nicht klar, wieso ich a durch d ausgedrückt habe, wenn du schreibst a bzw. d...

Wie soll ich den "Bruchstrich" bei der Nebenbedinung sehen? Einfach als dividiert?

01.01.2012, 22:07

sulo

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Es ist so, dass wir in der HB doch a stehen haben, in der NB aber d.
Wir haben den Zusammenhang: a² = 1/2 d².

Und: Ein Bruchstrich bedeutet immer "dividiert". Augenzwinkern

Die NB kannst du wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{H}{H-h}=\frac{R}{d/2}\Rightarrow \frac{H}{H-h}=\frac{2R}{d} \Rightarrow \frac{H-h}{H}=\frac{d}{2R} \end{eqnarray*}$

Jetzt nach d umstellen.

smile

01.01.2012, 22:17

JuliaJulia

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Mhm, ok.
Wieso kann ich als Zusammenhang nicht a=d angeben?
Wieso hast du am Schluss Nenner mit Zähler und Zähler mit Nenner vertauscht? (Es kommt mir irgendwie bekannt vor, aber ich weiß die Regel nciht mehr :hammer smile

d= (H-h)/H*2R=d

und jetzt d in die Volumenformel einsetzen...

01.01.2012, 22:23

sulo

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Zitat:

Original von JuliaJulia
Wieso kann ich als Zusammenhang nicht a=d angeben?

Weil die Seitenlänge des Quadrates nicht gleich dem Durchmesser ist.

Zitat:

Original von JuliaJulia
Wieso hast du am Schluss Nenner mit Zähler und Zähler mit Nenner vertauscht?

Das darf man machen. Du kannst das alles zu Fuß ausprobieren mit Erweitern und Kürzen.
Du kannst auch Zahlen einsetzen, so dass die Gleichung stimmt, und es probieren.
(2/4 = 5/10 => 4/2 = 10/5)

Zitat:

Original von JuliaJulia
d= (H-h)/H*2R=d

und jetzt d in die Volumenformel einsetzen...

Schreibe lieber: d= 2R*(H-h)/H Augenzwinkern

01.01.2012, 22:29

JuliaJulia

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Ups, Konzentration lässt nach Augenzwinkern

jetzt setze ich d in die Volumenformel ein:

V= a^2*h
V= (2R*(H-h)/H)^2*h???

Aber wenn ich a durch d ersetze ((2R*(H-h)/H)^2*h=d) dann mache ich ja eigentlich einen Fehler weil d nicht a ist...

01.01.2012, 22:33

sulo

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Ja, deswegen solltest du vielleicht erst mal das a durch d ersetzen:

V= a²·h

V = 1/2·d²·h

PS: Mit AltGr 2 kannst diese ² schreiben. Das sieht besser aus als ^2. Augenzwinkern

01.01.2012, 22:44

JuliaJulia

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Ah, danke, jetzt habe ich es verstanden Gott

1/2·( 2R*(H-h)/H)²·h = V

Kann ich das mit einer bestimmten Technik auflösen oder einfach darauf los?

01.01.2012, 22:47

JuliaJulia

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Ich habe herausbekommen

2*h*r^2*((H-h)/H)^2=V

01.01.2012, 22:51

sulo

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Das r müsste R sein, sonst stimmt es. Freude

Diese Funktionsgleichung (V(h)) musst du ableiten. Vermutlich ist es einfacher, wenn du die Klammer erst mal auflöst.

smile

01.01.2012, 22:56

JuliaJulia

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2*h*R²*((H²*h²)/H²)

Aber wie leite ich das jetzt ab! Ich kann das doch nicht mit der Produktregel machen. Das würde eine riesige Schlange werden!!!

01.01.2012, 22:59

sulo

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Das stimmt so nicht. Du musst im Zahler an die 1. binom. Formel denken.

Wie gesagt: Löse alle Klammern auf, so dass du nur 3 Summanden hast. Das Ableiten ist dann ganz einfach.

smile

01.01.2012, 23:04

JuliaJulia

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Das schaut schrecklich aus geschockt

$\begin{eqnarray*} \frac{2*h*R^2*H^2-4*h^2*H*^R^2+2*h^3*R^2}{H^2} \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 23:06

JuliaJulia

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\frac{2*h*R^2*H^2-4*h^2*H*^R^2+2*h^3*R^2}{H^2}

01.01.2012, 23:13

sulo

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$\begin{eqnarray*} V(h)=\frac{2*h*R^2*H^2 -4*h^2*H*R^2+2*h^3*R^2}{H^2} \end{eqnarray*}$

Das ist soweit richtig, ich habe mal eine Gleichung draus gemacht.

Nun würde ich noch den Bruch auflösen, dann kannst du ableiten.

smile

01.01.2012, 23:15

JuliaJulia

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Der Nenner fällt weg.

Muss ich bei bsw. 2*h*R²*H²
die Produktregel anwenden?

01.01.2012, 23:18

sulo

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1. Der Nenner fällt nur beim ersten Term weg.

2. Nein, du brauchst keine Produktregel, weil R und H keine Variablen sind, nach denen du ableitest. Notwendig ist aber, dass du den Bruch richtig aufgelöst hast, es entstehen 2 Brüche aus den letzten beiden Termen im Zähler.

01.01.2012, 23:21

JuliaJulia

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Das ganze besteht doch nur aus einen großen Term...

Meinst du ich soll schreiben:

(2/H^2)*(h/H^2)*...

01.01.2012, 23:30

sulo

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Ich meine es so:

$\begin{eqnarray*} V(h)=2*h*R^2 - \frac{4*h^2*R^2}{H} +\frac{2*h^3*R^2}{H^2} \end{eqnarray*}$

Es wird klarer, was konstant bleibt, wenn du das h etwas abtrennst:

$\begin{eqnarray*} V(h)=2*R^2*h - \frac{4*R^2}{H}*h^2 +\frac{2*R^2}{H^2}*h^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du sehr leicht nach h ableiten.

smile

01.01.2012, 23:34

JuliaJulia

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Ich glaube, die Ableitung werde ich morgen machen!
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe.
Du hast mir im Forum immer am Tollsten geholfen!

Danke und hoffentlich bis morgen!

01.01.2012, 23:36

sulo

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Vielen Dank für die Blumen. smile

Ja, wir können morgen weitermachen. So viel ist es jetzt auch nicht mehr.

Gute Nacht. Wink

02.01.2012, 18:24

JuliaJulia

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Soll ich die Quotientenregel verwenden oder *h bzw. h², h³ rechnen?

02.01.2012, 19:33

sulo

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Keine Quotienten-, Produkt-, oder sonstige Regel. Augenzwinkern

Du hast nur die Variable h, die du ganz normal ableitest. Alles andere, was ich blau geschrieben habe, betrachte als einen konstanten Faktor vor der Variablen h.

$\begin{eqnarray*} V(h)=\color{blue}2*R^2\color{black}*h -\color{blue} \frac{4*R^2}{H}\color{black}*h^2 +\color{blue}\frac{2*R^2}{H^2}\color{black}*h^3 \end{eqnarray*}$

smile

02.01.2012, 20:00

JuliaJulia

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Ah, dann ich die Ableitung wirklich SEHR leicht. Vorher aber noch eine kleine Frage.

Ich habe gestern den Satz " Aber Achtung: Von dem Quader sehen wir in meiner Darstellung die Diagonale, nicht die Seite. "
Meinst du die Diagonalen vom Quader oder die vom Zylinder?

02.01.2012, 20:02

sulo

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Ich meine den Quader. Aber das haben wir ja auch schon berücksichtigt, indem wir mit d statt a rechnen. smile

edit: Ein Zylinder kommt in unserer Aufgabe gar nicht vor. verwirrt

02.01.2012, 20:07

JuliaJulia

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Sorry, ich war schon beim nächsten Beispiel.
Ich habe natürlich Kegel gemeint...

Ich verstehe nur nicht, wieso das in der Zeichnung die Diagonalen des Quaders und nicht dessen Seitenlängen sein sollen. unglücklich

Langsam habe ich das Gefühl, ich werde das Beispiel nie verstehen traurig

...

02.01.2012, 20:11

sulo

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Dann schau dir meine Zeichnung hier: Klick an.

Man stellt sich die Figur eigentlich so vor, wie es sich von Süden aus gesehen darstellt.

Tatsächlich habe ich aber entlang der grünen Linie geschnitten, um die Dreiecke zu haben, die wir ja brauchten, um die Zusammenhänge von H, R, h und d/2 zu erhalten.

smile

02.01.2012, 20:49

JuliaJulia

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Ich bin gerade dabei, alles noch einmal durchzugehen und zu verstehen. Meinst du mit (d/2) den Durchmesser/2 oder Diagonale/2?

02.01.2012, 20:51

sulo

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Von Durchmesser haben wir nie gesprochen. Augenzwinkern

d ist die Diagonale, d/2 ist die Hälfte der Diagonale. smile

02.01.2012, 21:17

JuliaJulia

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Beim Nachrechnen bin ich bei den Strahlenansätzen auf ein anderes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{H-h}{H}=\frac{R}{d/2} \end{eqnarray*}$

Ist das dasselbe oder habe ich etwas falsch verstanden?

02.01.2012, 21:20

sulo

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Das stimmt so nicht.

Du musst jeweils gleiche Strecken ins Verhältnis setzen, also hier z.B. lang/kurz = lang/kurz.

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \frac{H}{H-h}=\frac{R}{d/2} \end{eqnarray*}$

smile

03.01.2012, 07:42

JuliaJulia

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ICh habe mir gestern die Rechnung noch einmal angeschaut und ich glaube ich, habe sie wirklich verstanden!

Bei mir kommt jetzt heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,375*r²}{H^2}*h^2-\frac{0,5*R²}{H}*h+0,125*R² \end{eqnarray*}$

ich nehme an, ich muss jetzt mit der großen Auflösungsformel rechnen... traurig

03.01.2012, 10:14

sulo

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Warum hast du die Konstanten verändert? verwirrt

Ich hatte mehrfach erläutert, dass du hier nicht rangehen musst:

Zitat:

Original von sulo
Du hast nur die Variable h, die du ganz normal ableitest. Alles andere, was ich blau geschrieben habe, betrachte als einen konstanten Faktor vor der Variablen h.

$\begin{eqnarray*} V(h)=\color{blue}2*R^2\color{black}*h -\color{blue} \frac{4*R^2}{H}\color{black}*h^2 +\color{blue}\frac{2*R^2}{H^2}\color{black}*h^3 \end{eqnarray*}$

Von mir aus schreibe die Gleichung so und leite sie dann ab:

$\begin{eqnarray*} V(h)=\color{blue}A\color{black}*h -\color{blue} B\color{black}*h^2 +\color{blue}C\color{black}*h^3 \end{eqnarray*}$

edit: Du kannst gerne die Reihenfolge vertauschen. Augenzwinkern

Hinterher setzt du natürlich die ursprünglichen Werte wieder ein. Augenzwinkern

Und gelöst wird dann mit pq-Formel, was aber eigentlich nicht schlimm ist. Wenn du nämlich durch den Faktor vor dem h² geteilt hast, bleibt folgende Gleichung:

0 = h² - 4/3 H·h + 1/3 H²

smile

03.01.2012, 14:08

JuliaJulia

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Ich habe das ganze Beispiel noch einmal gerechnet und habe beim umformen irgendwo statt (1/2) 0,5 geschrieben und das hat dann zu diesen Ergebnis geführt... Falsch ist es doch nicht oder?

03.01.2012, 14:11

JuliaJulia

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Ah, nein, vergiss diesen Eintrag, Fehler schon gefunden!!!

03.01.2012, 17:40

JuliaJulia

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Nach dem Ableiten bekomme ich jetzt heraus

$\begin{eqnarray*} 2*R^2-\frac{8*R^2}{H} * h + \frac{6*R^2}{H^2}*h^2 \end{eqnarray*}$

03.01.2012, 17:44

sulo

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Richtig.

Jetzt schreiben wir das noch schön als Gleichung:

$\begin{eqnarray*} V'(h) = 2*R^2-\frac{8*R^2}{H} * h + \frac{6*R^2}{H^2}*h^2 \end{eqnarray*}$

Und sortieren mal nach h:

$\begin{eqnarray*} V'(h) = \frac{6*R^2}{H^2}*h^2-\frac{8*R^2}{H} * h + 2*R^2 \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du die Gleichung = 0 setzen und für die pq-Formel durch $\begin{eqnarray*} \frac{6*R^2}{H^2} \end{eqnarray*}$ dividieren.

smile

03.01.2012, 18:01

JuliaJulia

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$\begin{eqnarray*} 1x2= \frac{1,3*H}{2}\pm \frac{1,3*H}{2}*\sqrt{0,3}*H \end{eqnarray*}$

Habe ich die Wurzel richtig aufgelöst...?

03.01.2012, 18:03

JuliaJulia

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Statt dem letzten Mal steht natürlich ein Dividiertzeichen...

03.01.2012, 18:06

sulo

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Statt 1,3 hättest du besser 4/3 schreiben sollen, die Hälfte davon ist 2/3. Augenzwinkern

Du hast doch noch gar nicht die Wurzel aufgelöst. Und durch H wird da auch nichts mehr geteilt...

verwirrt

03.01.2012, 18:18

JuliaJulia

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$\begin{eqnarray*} (2/3)*H\pm \sqrt({\frac{1,3*H}{2})^2 -0,3*H^2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich herausbekommen, wenn ich in die kleine Auflösungsformel eingesetzt habe...

Die Wurzel aus (1/3)*H² ist bei mir (Wurzel aus (1/3))*H

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