Verschoben! Beweisführung

31.12.2011, 13:14

RedManiac

Beweisführung

Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier folgende Frage ausgeborgen, die ich möglichst theoretisch, und nicht intuitiv, beantwortet haben möchte:

Wie viele der positiven ganzen Zahlen, die kleiner als 1000 sind, k¨onnen als Produkt zweier
gerader Zahlen geschrieben werden?

Zur Auswahl stehen:
A 100
B 150
C 200
D 220
E 249

Diese Frage stammt NICHT aus einem laufenden Wettbewerb!

Link:
http://www.mathe-kaenguru.de/chronik/aufgaben/downloads/99_1113.pdf

MfG
Max

Meine Ideen:
Würde mich über gute Lösungsansätze, die nicht auf dem einfachen Abzählen beruhen, freuen.

31.12.2011, 14:05

chrizke

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Mach dir doch mal darüber Gedanken, was alle Zahlen, die das Produkt zweier grader Zahlen sind, gemeinsam haben müssen.
Schau dir dafür mal die Primfaktorzerlegung an, wenn du es nicht direkt siehst.

31.12.2011, 14:24

RedManiac

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Spontan würde ich sagen, dass diese alle auch gerade sind.

31.12.2011, 14:29

tigerbine

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Zitat:

Original von Thomas

Alles was hier reingepostet wird das sollten Rätsel sein, keine mathematischen Aufgaben sondern Rätsel. Wenn es schon eine mathematische Aufgabe sein muss, dann baut bitte wenigstens eine kleine Geschichte drumherum auf.
Bevor man hier jedoch ein Rätsel postet sollte man sich vorher vergewissern ob dieses Rätsel nicht schon gepostet wurde, also die Suchfunktion benutzen.
Wenn ein Rätsel gelöst ist wird es von einem Moderator entsprechend mit [gelöst] im Titel markiert so dass es jeder sehen kann. Dieses Zeichen bedeutet das irgendjemand die Lösung im Thema bereits gepostet hat. Ungelöste Rätsel kann man aber sofort daran erkennen das sie im Forum als wichtig markiert sind.

edit tigerbine, 2011
Da wir aber in einem Matheforum sind, ist es anscheinend nötig den Begriff Rätsel zu definieren, oder zumindest näher zu beschreiben.

Der Rätselsteller muss die Lösung kennen.
Es sind also keine Fragen zugelassen, die dem Fragestellenden ein Rätsel aufgeben. Insbesondere keine Aufgaben, die in das eigentliche Forum gehören.
Es sollten kleine leichte bis anspruchsvolle Aufgaben sein, die sich aber ohne größere Abhandlungen lösen lassen.
Komplettlösungen sind hier zulässig, wobei user von Fall zu Fall sehen sollten, wie viel sie verraten. Abwiegen: Stimmt meine Lösung und Tipps für die Mitstreiter, um ihnen den Spass nicht zu nehmen.

31.12.2011, 16:03

chrizke

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Zitat:

Original von RedManiac
Spontan würde ich sagen, dass diese alle auch gerade sind.

Ja das ist eine Eigenschaft, aber man kann noch mehr verlangen.

Schau dir mal die Teiler für zB:

10*6
4*14
26*12

usw. an. Was haben alle noch zusätzlich gemeinsam?

31.12.2011, 16:09

RedManiac

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Eventuell dass alle diese Faktoren durch 2 teilbar sind und ihre Produkte durch 4?

31.12.2011, 16:20

chrizke

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Zitat:

Original von RedManiac
Eventuell dass alle diese Faktoren durch 2 teilbar sind und ihre Produkte durch 4?

Ja genau das meine ich.
Und es lässt sich auch leicht folgende Äquivalenz beweisen:

Zahl ist Produkt zweier gerader Zahlen <=> Zahl ist durch 4 teilbar.

Somit hast du nun das Problem reduziert. Allerdings musst du nun auch wieder abzählen, und zwar alle Zahlen die durch 4 teilbar sein, aber das ist ja überschaubar und schnell gemacht.

31.12.2011, 16:24

RedManiac

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Ja natürlich, danke!
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