Textgleichung: Leistungsaufgabe

31.12.2011, 17:30

Alina123

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Textgleichung: Leistungsaufgabe

Die Aufgabe lautet:
Zwei Arbeiter benötigen für eine Arbeit gemeinsam 20 Tage. Wie viele Tage benötigt der zweite Arbeiter allein, wenn der erste Arbeiter allein 30 Tage für die Arbeit braucht ?

Hier meine Lösung:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	Arbeiter: Arbeit/Tag Arbeit total 1a+2a A/20T (A/20)t 1a A/30T (A/30)t 2a A/20T-A/30 (A/20T-A/30)*t

$\begin{eqnarray*} A/20T-A/30=A //:A //(lcm)<br /> 3t/60T-2t/60T=1<br /> t/60T=1<br /> t = 60 T<br /> \end{eqnarray*}$
Arbeiter NR2 benötigt für die selbe Arbeit alleine 60 Tage. (Man sollte eine Kündigung in betracht ziehen :lolhammer smile

smile

Stimmt der Lösungsweg denn für Textaufgaben dieser Art?

31.12.2011, 17:52

Alina123

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Sorry, aber mir fiel nichts anderes auf die Schnelle ein um das halbwegs formatiert niederzubringen.
In der Gleichung unten hatte ich jeweils $\begin{eqnarray*} \cdot t \end{eqnarray*}$ vergessen.

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{20T}\cdot t-\frac{A}{30}\cdot t=A //:A //(lcm)<br /> \frac{3t}{60T}-\frac{2t}{60T}=1<br /> \frac{t}{60T}=1<br /> t = 60 T<br /> \end{eqnarray*}$

31.12.2011, 20:44

mYthos

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Du hast richtig gerechnet.
Üblich ist das Erstellen der Gleichung über die Arbeit oder die Leistung. Die Summe der Teilarbeiten ist gleich der Gesamtarbeit. Diese kann man (anstatt A) auch 1 setzen. Ähnliches gilt für die Leistungen: Die Summe der Einzelleistungen ist gleich der Gesamtleistung.

A1: Leistung = 1/30, Arbeit 20 * 1/30
A2: Leistung = 1/x, Arbeit 20 * 1/x (Arbeiter braucht x Tage allein)

A1+A2: Leistung 1/30 + 1/x, Arbeit 1

Über die Arbeiten:

$\begin{eqnarray*} (\frac 1 {30} + \frac 1 x) \cdot 20 = 1 \end{eqnarray*}$

Über die Leistungen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {30} + \frac 1 x = \frac 1 {20} \end{eqnarray*}$

Beide Male ergibt sich x = 60 (T)

mY+

01.01.2012, 14:22

Alina123

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Danke und allen ein frohes neues Jahr.

- nur leider so ganz kapiert hab ich das noch nicht, denn bei der nächsten Aufgabe komme ich garnicht weiter.

Ein Arbeiter kann den Sanitärbereich eines Neubaus in 8 Tagen verfliesen. Nach zwei Tagen wird ein weiterer Arbeiter eingesetzt und die Arbeit ist in insgesamt 5 Tagen abgeschlossen. Wie lange hätte der zweite Arbeiter gebraucht, wenn er die Arbeit allein ausgeführt hätte?

Also
$\begin{eqnarray*} <br /> A1: \frac{1}{8T}<br /> A1+A2: \frac{1}{5T} + 2T<br /> A2: \frac{1}{xT}<br /> <br /> A2 = (A1+A2)-A1<br /> <br /> \hline<br /> <br /> 1 = (\frac{1}{5T} +2T)-\frac{1}{8T}<br /> 1 = (\frac{1+10T}{5T})<br /> 5 = (1+10T)<br /> 4 = 10T<br /> 1 = \frac{10}{4}<br /> \end{eqnarray*}$
Arbeiter #2 benötigt 2 Tage und 12 Stunden.

Die Lösung müsste 8 Tage sein.

Was mache ich falsch?

01.01.2012, 15:19

riwe

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du könntest dir einfach überlegen, wie lange beide für die restliche arbeit brauchen, daraus folgt - fast im kopf - das gewünschte ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2012, 15:58

Alina123

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Es gibt drei Tage an denen beide arbeiten.
Also wäre das gleich wie wenn einer alleine noch sechs Tage arbeiten würde (über die Arbeitseffizienzdifferenz des Einzelnen steht da ja nichts?). Nun kommen noch die zwei Tage hinzu, die verspätend für Arbeiter #2 gelten. So sind wir bei 8 Tage Arbeit.
Bin ich jetzt mehr oder weniger zufällig auf die Lösung gekommen? verwirrt

verwirrt

Ich müsste das bevorzugt mittels Raster irgendwie aufstellen.
Und das versuch ich jetzt mal:

code:
1: 2: 3: 4:	Arbeiter Leistung pro Tag(T) Leistung total 1 1/8T t/8T 1+2 1/5T t/5T 2 1/xT+2T t/xT+2T

Leistung(A2)=Leistung(A1+2)-Leistung(A1)

Stimmt das soweit?

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01.01.2012, 16:08

riwe

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in diese richtung ging mein tipp:
nach 2 tagen braucht der 1. noch 6 tage für den rest, beide zusammen noch 3 tage, daher

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{x}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

woraus folgt, dass beide arbeiter gleich schnell arbeiten, daher.......

01.01.2012, 16:36

Alina123

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Okay, so bekomme ich für x 6 heraus.
Also braucht Arbeiter 2 für den Rest noch 6 Tage. Für alles zusammen 8.

Aber ganz ehrlich, so hätte ich nach Aufstellung der Tabelle nicht gerechnet...
Sondern so:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{x} +2= \frac{1}{5} - \frac{1}{8}<br /> \end{eqnarray*}$
- was aber nicht stimmen kann, weil man so auf -0.5.. kommt.
Irgendwo haperts in meiner Logik gewaltig unglücklich

unglücklich

.

01.01.2012, 17:32

riwe

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vielleicht gefällt es dir so besser:

arbeiter 1 braucht 8 tage für die arbeit A, also erledigt er $\begin{eqnarray*} \frac{A}{8} \end{eqnarray*}$ pro tag, arbeiter 2 analog x tage:
das ergibt dann in summe

$\begin{eqnarray*} \frac{5A}{8}+\frac{3A}{x}=A \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 18:07

Alina123

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Nein, ich verstehe das System nicht.
Wie kommt man auf die 5A und die 3A?

01.01.2012, 18:36

Alina123

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Etwas anderes, dann kapier ich das vielleicht endlich mal.
Hab ich mir jetzt ausgedacht:
Man hat insgesamt fünf Stück Schokolade.
Person 1 isst in der Stunde ein halbes Stück
Person 2 isst in der Stunde ein ganzes Stück, entdeckt die Schokolade und Person 1 aber erst nach einer Stunde. Wann ist die Schoko aufgegessen?

Grafisch habe ich das schonmal gelöst:
[ ][ ][ ][ ][ ] Stunde 0 (Schokolade wurde gekauft)
[/][ ][ ][ ][ ] Stunde 1 ( [/] Stück halb gegessen, [x] Stück ganz gegessen)
[x][x][ ][ ][ ] Stunde 2
[x][x][x][/][ ] Stunde 3
[x][x][x][x][x] Stunde 4

In 4 Stunden ist alles aufgegessen.
Nun rechnerisch und mithilfe eines Rasters:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	verspeist pro Stunde verspeist total P1 S/0.5 stk (S/0.5stk)t P2 S/1 stk (S/1 stk)t

Mein erstes Problem, wie verpacke ich die Information im Raster, dass Person 2 erst nach einer Stunde zu essen beginnt?

$\begin{eqnarray*} 5S = \frac{S}{0.5stk}\cdot t + \frac{S}{1 stk}\cdot t //:S<br /> 5 = \frac{t}{0.5stk} + \frac{t}{1}<br /> 5 = 3t<br /> t = 1,6<br /> \end{eqnarray*}$
offenbar völlig falsch.. selbst wenn ich die eine Stunde addieren würde, käme ich auf 2.6 h

01.01.2012, 18:39

riwe

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wiel arbeiter 1 5 tage arbeitet, erledigt er 5A/8, weil arbeiter 2 3 tage arbeitet,
leistet er 3A/x, und beide zusammen erledigen die ganze arbeit A

edit zu 2:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot t+1\cdot(t-1) = \text{anzahl der schokoladestücke} \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 18:55

Alina123

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Hm okay.

ad2) aber gesucht ist die Anzahl der Stunden, die die Schokolade überlebt

01.01.2012, 19:02

riwe

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Zitat:

Original von Alina123
Hm okay.

ad2) aber gesucht ist die Anzahl der Stunden, die die Schokolade überlebt

ja rechne halt die anzahl der stunden t aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2012, 19:08

Alina123

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$\begin{eqnarray*} <br /> 2t + 1(t-1)=5<br /> 3t = 6<br /> t = 2<br /> \end{eqnarray*}$
Das stimmt aber nicht mit meiner grafischen Lösung überein.

01.01.2012, 19:35

riwe

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entschuldige, da hast du recht.
ich habe gelesen: person 1 ißt 2stück pro stunde.

jetzt könntest du die gleichung aber schon selbst richtig aufstellen:

statt 2 setze .... verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 20:25

Alina123

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Okay also
$\begin{eqnarray*} <br /> 5 = 0,5t + 1 (t-1)<br /> 5= 1,5t - 1<br /> 6 = 1.5t<br /> t = 4<br /> \end{eqnarray*}$

Links haben wir also die Stück Schokolade
0,5t... Person 1 die in der Stunde ein halbes Stück isst.
(t-1).. Person 2 die nach einer Stunde, darum die -1, ein Stück in der Stunde isst
und die *1 davor? wofür steht diese ?

Würde Person 1 in einer halben Stunde zwei Stück essen, würde die Gleichung so aussehen?

$\begin{eqnarray*} 5 = \frac{2}{0.5t} + t-1 \end{eqnarray*}$ Woher weiß ich, dass ich die 2 durch die 0.5 dividieren darf ? Das sind doch "Äpfel und Birnen" ?

01.01.2012, 22:05

riwe

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Zitat:

Original von Alina123
Okay also
$\begin{eqnarray*} <br /> 5 = 0,5t + 1 (t-1)<br /> 5= 1,5t - 1<br /> 6 = 1.5t<br /> t = 4<br /> \end{eqnarray*}$

Links haben wir also die Stück Schokolade
0,5t... Person 1 die in der Stunde ein halbes Stück isst.
(t-1).. Person 2 die nach einer Stunde, darum die -1, ein Stück in der Stunde isst
und die *1 davor? wofür steht diese ?

Freude

wieso happert es nun auf einmal

0.5 steht vor dem t, da person 0.5 stück schokolade pro stunde (t) vernascht,
daher steht 1 da, weil person 2 wieviel schoko in der stunde ißt verwirrt

verwirrt

t steht für die zeit in stunden

mit t = 4 stunden, weißt du also:
person 1 ißt in 4 stunden 4*0.5 = 2 stück schokolade
person 2 in 3 stunden 3*1 = 3 stück,
also werden insgesamt 5 stück konsumiert

Zitat:

Würde Person 1 in einer halben Stunde zwei Stück essen, würde die Gleichung so aussehen?

$\begin{eqnarray*} 5 = \frac{2}{0.5t} + t-1 \end{eqnarray*}$ Woher weiß ich, dass ich die 2 durch die 0.5 dividieren darf ? Das sind doch "Äpfel und Birnen" ?

doch nicht so unglücklich

unglücklich

sondern so:

$\begin{eqnarray*} 5 = 2t + t-1 \end{eqnarray*}$

und das sind alles schokoladen Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.01.2012, 14:20

Alina123

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Diese Textaufgaben werden mir von Tag zu Tag "sympathischer"...
Nun hänge ich bei folgender Aufgabe:

Ein Bagger kann bestimmte Aushubarbeiten in 12 Tagen durchführen, ein zweiter in 15 Tagen. Wie lang dauern die Arbeiten, wenn nach vier Tagen der zweite Bagger zusätzlich zum ersten eingesetzt wird?

Mal sehen, ob ich das richtig verstehe.
Leistung des ersten Baggers pro Tag ... 1/12
Leistung des zweiten Baggers pro Tag ... 1/15

Aufstellung der Gleichung:
(Die Summe der Einzelleistungen entspricht der Gesamtleistung)
$\begin{eqnarray*} t/12 + 1/15 * (t-4) = 1<br /> \frac{t}{12}+\frac{t-4}{15} = 1<br /> \frac{5t}{60}+\frac{4(t-4)}{60}=1<br /> 9t-16=60<br /> 9t = 76<br /> t = 8,444...<br /> \hline<br /> 8,444... => 8 Tage<br /> \frac{4}{9}*24 = 10.666... => 10 Stunden<br /> \frac{6}{9}*60 = 40 => 40 Minuten<br /> \end{eqnarray*}$

Beide Bagger benötigen 8 Tage 10 Stunden und 40 Minuten.

Stimmt das so in etwa?
Gibt es eine Art Probe?

18.01.2012, 23:50

mYthos

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Das hast du gut und richtig gerechnet.

Zitat:

Original von Alina123
...
(Die Summe der Einzelleistungen entspricht der Gesamtleistung)
...

Korrekt müsste dies allerdings heissen: Die Summer der einzelnen Arbeiten ist die Gesamtarbeit.

Zur Probe werden die einzelnen Arbeiten für t = 76/9 addiert:

76/108 + 40/135 = 19/27 + 8/27 = 1

mY+

22.01.2012, 19:36

Alina123

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Danke für die Antwort.
Was ich nicht verstehe ist, warum ich t anschreiben muss und nicht 1
Also zb 1/12 anstelle von t/12 - irgendwann vermischt man dann Äpfel mit Birnen oder?

Demnach müsste es auch klappen wenn ich den Anteilen der Arbeit Variablen zuordne. Also zb
$\begin{eqnarray*} 1/12A + 1/15A * (1-4A) = 1 \end{eqnarray*}$
Nur da kommt dann Käse raus unglücklich

unglücklich

22.01.2012, 22:43

mYthos

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Nein, du machst ansonsten damit keinen Unterschied zwischen Leistung und Zeit!
Was gefragt ist, ist doch die Zeit!
Die Arbeit ist schon 1, die Leistung des 1. Baggers daher 1/12. Um dessen Arbeit darzustellen, musst du als Unbekannte die Zeit t einführen und die Beziehung

Arbeit = Leistung * Zeit

verwenden.
Somit lautet die Arbeit des 1. Baggers (1/12) * t = t/12, die des 2. Baggers entsprechend .. und die Summe dieser beiden Arbeiten ist 1.

mY+

23.01.2012, 17:44

Alina123

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Danke. Du hast es mir wirklich perfekt erklärt und es scheint nun nicht mehr zu hapern Respekt

Respekt

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