Schätzer bestimmen und Konsistenz

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Statistikant Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer bestimmen und Konsistenz
Hi,

ich habe einige grundlegende Fragen zu Schätzern.

Wir haben oft einen Schätzer über den Mittelwert erzeugt. Als Beispiel:

Sei a der unbekannte Parameter der Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.

Nun haben wir zum Beispiel den Erwartungswert dieser Größe berechnet, um einen Schätzer zu erstellen. In dieser Relation haben wir dann den Erwartungswert durch den empirischen Mittelwert ersetzt, und dann die Gleichung nach dem unbekannten Parameter umgestellt und somit einen Schätzer für diesen erhalten.

Nun hatten wir aber zuletzt eine andere Aufgabe, da sollte ein Schätzer auf Basis des Maximums der Stichprobe erstellt werden. Von der Zufallsvariable des Maximums M haben wir auch den Erwartungswert berechnet und damit ist eine Relation wie folgt entstanden:

, wobei C eine Konstante war.

Dann haben wir den Schätzer wie folgt aufgeschrieben:



Wieso wurde hier nach dem Umstellen E[M] durch M ersetzt?


Weiterhin ist mir die Sache mit der Konsistenz noch nicht ganz klar. Nehmen wir ein beliebiges Beispiel. Der wahre Parameter der Verteilung sei a, der Schätzer S.

Wo liegt der Unterschied zwischen den Aussagen S ist konsistent und E[S]=a?
Black Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer bestimmen und Konsistenz
Zitat:
Original von Statistikant
Dann haben wir den Schätzer wie folgt aufgeschrieben:



Wieso wurde hier nach dem Umstellen E[M] durch M ersetzt?


Bei Schätzern ersetzt man den Erwartungswert von Zufallsvariablen oftmals durch die Zufallsvariablen selbst, weil der Erwartungswert in der Regel keine beobachtbare Größe ist.

Zitat:

Weiterhin ist mir die Sache mit der Konsistenz noch nicht ganz klar. Nehmen wir ein beliebiges Beispiel. Der wahre Parameter der Verteilung sei a, der Schätzer S.

Wo liegt der Unterschied zwischen den Aussagen S ist konsistent und E[S]=a?


Wenn erfüllt ist, dann ist S ein erwartungstreuer Schätzer für a.

Wenn dann nennt man einen S (schwach) konsistenten Schätzer für a.

Beides sind ganz verschiedene Konzepte
Statistikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer bestimmen und Konsistenz
Zitat:
Original von Black

Wenn erfüllt ist, dann ist S ein erwartungstreuer Schätzer für a.

Wenn dann nennt man einen S (schwach) konsistenten Schätzer für a.

Beides sind ganz verschiedene Konzepte


Die Definitionen kenne ich, aber mir leuchtet nicht ein, welche unterschiedliche praktische Bedeutung aus den beiden Konzepten ergibt. Sagen sie nicht beide irgendwie aus, dass für eine unendlich große Stichprobe der Schätzer den wahren Parameter trifft?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn der Schätzer erwartungstreu ist, dann bedeutet das anschaulich:
Wenn du unendlich viele verschiedene (!) Stichproben (der jeweilige Umfang spielt keine Rolle) aus deiner Grundgesamtheit ziehst, und dir anhand jeder dieser Stichproben jeweils einen Schätzer S baust (also ), dann entspricht der Mittelwert dieser Schätzer gerade a, also

Das was du gesagt hast entspricht im Prinzip der schwachen Konsistenz
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