Dgl	Neue Frage »

01.01.2012, 14:09

Cheftheoretiker

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Dgl

Hallo,

ich habe ein paar Fragen zu der folgenden Aufgabe.

Löse die Differentialgleichung.

Meine Ideen sind dazu die folgenden. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung zwei und sie ist nicht linear. Die DGL kann man durch Variablentrennung lösen.
So bin ich vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(y-1)\frac{dy}{dx}=3x^2+4x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2y-2)dy=(3x^2+4x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}(1-y^2)dy=\int_{}^{}(x^2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y-\frac{y^3}{3}=\frac{x^3}{3}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3y-y^3-x^3=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3y-y^3-x^3-c=0 \end{eqnarray*}$

Ist das nun schon die Lösung der DGL? verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 14:16

Cel

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RE: Dgl
Moin,

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} (2y-2)dy=(3x^2+4x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}(1-y^2)dy=\int_{}^{}(x^2)dx \end{eqnarray*}$

was machst du denn da? Das verstehe ich nicht ...

01.01.2012, 14:22

Cheftheoretiker

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RE: Dgl

Zitat:

was machst du denn da? Das verstehe ich nicht ...

Ich ehrlich gesagt auch nicht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Hab wieder hirnlos von meinem Blatt abgeschrieben...

$\begin{eqnarray*} (2y-2)dy=(3x^2+4x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}(2y-2)dy=\int_{}^{} (3x^2+4x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y^2-2y=x^3+2x^2+2x+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^2-2y-x^3-2x^2-2x=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y^2-2y-x^3-2x^2-2x-c=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt aber... Forum Kloppe

Forum Kloppe

01.01.2012, 14:37

Cel

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Sinn und Zweck dieser ganzen Integration ist es, y herauszufinden, die / eine Lösung der DGL. Löse also nach y auf und dort steht dann y = y(x) = ... als Lösung.

01.01.2012, 14:45

Cheftheoretiker

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Also ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2-x^3-2x^2-2x-c}{2}=y \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Ich dachte das wäre die implizite Form einer DGL.
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3y-y^3-x^3-c=0 \end{eqnarray*}$

So wie ich das verstanden habe bekommt man die explizite Form wenn man c berechnen könnte also wenn ein Wert für x und y bekannt ist. verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 15:02

Cel

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RE: Dgl
x und y sollen bekannt sein? Ich glaub, du sprichst du von Anfangswerten. Das c ist eine Konstante, wenn ich dir jetzt sage, dass y(0) = 2 sein soll, dann kannst du dieses c bestimmen. Aber mit implizit und explizit hat das nichts zu tun. Die DGL selbst ist implizit oder explizit, nicht die Lösung. Zumindest kenne ich die Begriffe implizif und explizit nur in diesem Zusammenhang.

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y^2-2y=x^3+2x^2+2x+c \end{eqnarray*}$

So, das solltest du jetzt nach y auflösen. Das ist ein wenig tricky, aber addiere mal auf beiden Seiten eine 1 ... Idee!

Idee!

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01.01.2012, 15:08

Cheftheoretiker

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RE: Dgl
Ah, okay

$\begin{eqnarray*} (y-1)^2=x^3+2x^2+2x+c+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-1=+-\sqrt{x^3+2x^2+2x+c+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1+-\sqrt{x^3+2x^2+2x+c+1} \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 15:12

Cel

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Warum jetzt überall recht Minus? Im Prinzip richtig, aber auf die Vorzeichen achten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2012, 15:12

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank! Gott

Gott

Wenn ich nun meine Lösung kontrollieren wollte, müsste ich

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2(y-1)} \end{eqnarray*}$

auf der linken Seite die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y=1+-\sqrt{x^3+2x^2+2x+c+1} \end{eqnarray*}$ bilden und auf der rechten für y die Funktion einsetzen oder? smile

smile

01.01.2012, 15:15

Cel

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Guck dir noch mal meinen Einwand an, hatte eben zu schnell gepostet. Aber ja, du müsstest dann die Ableitung davon einsetzen, genau, und rechts die Funktion selbst.

01.01.2012, 15:22

Cheftheoretiker

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Okay, ich habe es korriegiert. Vielen Dank! smile

smile

Eine Aufgabe hätte ich allerdings noch.

Es handelt sich wieder um eine gewöhnliche Differentialgleichung 1 Ordnung. Sie ist nicht linear.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{1-y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1-y^2)\frac{dy}{dx}=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow(1-y^2)dy=x^2dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}(1-y^2)=\int_{}^{}(x^2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y-\frac{y^3}{3}=\frac{x^3}{3}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3y-y^3=x^3+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 3y-y^3-x^3=c \end{eqnarray*}$

Es ist nun angegeben das dies die Lösung sei. Muss ich hier nicht wieder nach y auflösen? verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 15:33

Cel

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OK, sagen wir mal so: Wenn es sich anbietet, aufzulösen, dann mach es. Hier wird das schwierig. Insofern ist der Graph der Lösungskurve dann implizit gegeben, das könnte man sagen. Aber es ist immer schön, eine explizite Form zu haben.

01.01.2012, 15:36

Cheftheoretiker

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Wo ist denn der Unterschied zur expliziten und impliziten Form?
explizit ist wenn man die Funktion angeben kann und implizit wenn nicht oder wie? verwirrt

verwirrt

Sind bei sollchen Aufgaben eigentlich immer angegeben womit man da loslegen soll? zum Beispiel wie in dieser Aufgabe durch trennung der Variablen?

01.01.2012, 15:46

Cel

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Genau: Wenn man nach y auflösen kann, dann ist die Lösung explizit gegeben, wenn nicht, dann implizit. Genau so bei der DGL selbst: Kann man nach der höchsten Ableitung auflösen ist das eine explizite DGL, sonst implizit.

Die lieben Aufgaben sagen dir, welche Methode du benutzen sollst. Die Knobelaufgaben nicht. Es geht sogar noch schlimmer: Manche DGL kann man gar nicht lösen. Man bekommt da einen Blick für.

01.01.2012, 15:51

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank.

Ich werde mich in das Thema mal etwas weiter einarbeiten. Mal eine Frage nebenbei, hat das eigentlich auch einen Nutzen, kann man sich dadurch sachen vereinfachen oder ist es einfach nur zum Selbstzweck? Big Laugh

Big Laugh

01.01.2012, 15:54

Cel

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Zitat:

Original von hangman
Mal eine Frage nebenbei, hat das eigentlich auch einen Nutzen, kann man sich dadurch sachen vereinfachen oder ist es einfach nur zum Selbstzweck? Big Laugh

Big Laugh

Was meinst du denn, das Selbststudium?

01.01.2012, 16:01

Cheftheoretiker

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Ich meine im allgemeinen, dass muss doch auch einen Nutzen haben das man sich hiermit beschäftigt... verwirrt

verwirrt

Noch eine Aufgabe hätte ich, diese habe ich mir aus dem Internet gesucht und ich meine die Lösung die angegeben ist sei falsch...

$\begin{eqnarray*} 2(x-1)dx+3y^2dy=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x-2)dx+3y^2dy=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y^2dy=-(2x-2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y^2dy=(-2x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}3y^2dy=\int_{}^{}(-2x+2)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^3=-x^2+2x+c \end{eqnarray*}$

Als Lösung ist dort $\begin{eqnarray*} (x-1)^2+y^3=c \end{eqnarray*}$ angegeben... verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 16:08

Cel

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Mit Differentialgleichungen? Die haben einen Nutzen, vor allem in der Physik, aber auch bei wirtschaftlichen Zusammenhängen. Ob du das später in deinem Beruf benutzen wirst? Na ja, kommt drauf an. Auf jeden Fall wird es in deinem Studium (solltest du eines machen) Sachen geben, die du nie wieder brauchst. Mach deswegen das, was dir Freude macht. Das ist der beste Tipp. smile

smile

01.01.2012, 16:32

Cheftheoretiker

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Okay, dann bleib ich dran Big Laugh

Big Laugh

Zu der Aufgabe, ist meine Lösung falsch? verwirrt

verwirrt

01.01.2012, 16:36

Cel

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Hatte ich übersehen. Aber du bist doch auch schon lang genug dabei, um zu wissen, dass Doppelposts in kurzer Zeit böse sind, oder? Ich füg die mal zusammen.

Deine Lösung ist richtig und die vorgeschlagene eben auch.

Friemel dir mal aus dem $\begin{eqnarray*} -x^2 + 2x \end{eqnarray*}$ wieder eine binomische Formel zusammen. Addiere auf beiden Seiten eine passende Konstante.

01.01.2012, 16:44

Cheftheoretiker

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Meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} -x^2+2x-1?y^3-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1(x^2-2x+1)=y^3-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1(x-1)^2=y^3-1 \end{eqnarray*}$

Kann man die DGL nicht auch in der expliziten Form angeben wenn man noch die dritte Wurzel zieht?

$\begin{eqnarray*} y^3=-x^2+2x+c \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 16:58

Cel

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Man kann das durch Wurzelziehen noch weiter umformen, aber das ist wohl Geschmackssache.

Soo, wo ist denn in deiner Rechnung das c geblieben? So ist es ja nicht gleich, aber schon ganz gut.

01.01.2012, 17:27

Cheftheoretiker

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So,

$\begin{eqnarray*} -1(x-1)^2+c=y^3-1 \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich dann nicht auf die selbe Form wie in der angegebenen Lösung... verwirrt

verwirrt

-

Wäre das dann,

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{y^3} =+-\sqrt[3]{-x^2+2x+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=+-\sqrt[3]{-x^2+2x+c} \end{eqnarray*}$

So ist das gemeint?

01.01.2012, 17:33

Cel

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Zitat:

Original von hangman
So,

$\begin{eqnarray*} -1(x-1)^2+c=y^3-1 \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich dann nicht auf die selbe Form wie in der angegebenen Lösung... verwirrt

verwirrt

Doch, kommst du. Bring alle Konstanten auf eine Seite, den Rest auf die andere. Und mach das so, dass vor dem (x-1)² ein + steht. Und dann guck noch mal scharf hin.

Das mit der 3. Wurzel ist so gut, aber je nach Anfanswert muss man da aufpassen, was man nimmt. Die implizite Form ist da kompakter.

01.01.2012, 17:54

Cheftheoretiker

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Also ich komme nur auf das hier

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=1-y^3+c \end{eqnarray*}$

01.01.2012, 18:11

Cel

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y³ ist aber nicht konstant, besser so: $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + y^3 = 1-c \end{eqnarray*}$ . Konstant ist aber konstant, setze also $\begin{eqnarray*} C = 1-c \end{eqnarray*}$ , macht $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + y^3 = C \end{eqnarray*}$ wie gewünscht.

01.01.2012, 18:48

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank für deine Hilfe.

Noch eine Frage, wenn man integriert, ist das nicht auch eine Art von DGL lösen?

und bei Steckbriefaufgaben, kann man sich das nicht auch dort zu nutze machen und eine DGL lösen und so die Funktion erhalten?

Bei einer weiteren Aufgabe verstehe ich einen Umformungsschritt nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{y*cos(x)}{1+2y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+2y^2)\frac{dy}{dx}=y*cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Schritt den ich nicht verstehe,

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{y}+2y\right)\frac{dy}{dx}=cos(x) \end{eqnarray*}$

Hier wurde durch y geteilt aber wieso muss nicht auch $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ durch y geteilt werden? verwirrt

verwirrt

02.01.2012, 00:33

Cel

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Beim normalen Integrieren siehst du eine DGL? Oder bei Steckbriefaufgaben? Also, ich sehe da keine. Hast du da ein Beispiel, an was du denkst?

Zu der Aufgabe: Das da links ist ein Produkt, man interpretiert dy/dx als eine Konstante.

02.01.2012, 00:44

Cheftheoretiker

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Ne, ein Beispiel nicht. Ich dachte nur das man bei Steckbriefaufgaben ja angaben hat zu der Funktion. Ich dachte daran die irgendwie einzubauen und dann durch integration die Aufgabe lösen kann.

Wie meinst du das, dass es eine Konstante ist? Ich habe damit doch auch vorher die ganze Zeit multipliziert.... verwirrt

verwirrt

02.01.2012, 00:47

Cel

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Ja, eben. Und hier ist es nicht anders, oder? Das ist ein Produkt und du teilst durch y. Und dann kürzt du eben.

02.01.2012, 01:00

Cheftheoretiker

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Wenn ich das doch ausmultiplizere und dann kürze sieht es folgendermaßen aus,

$\begin{eqnarray*} (1+2y^2)\frac{dy}{dx}=y*cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+2y^2)dy}{dx}:\frac{y}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y\left(\frac{1}{y}+2y\right)dy}{dxy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{1}{y}*2y\right)dy}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{y}+2y\right)\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

So müsste die Umformung korrekt sein... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$ Darf also nie gekürzt werden? verwirrt

verwirrt

Das war jetzt aber auch meine letzte Frage... Big Laugh

Big Laugh

02.01.2012, 10:13

Cel

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$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$ ist ein Ableitungsoperator, da darf man nichts kürzen. Was denn auch? Etwa das x oder in y in $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ ? Nein, das geht nicht. Mit der Konstante meinte ich eben, dass du ihn als einen solchen behandelst.

$\begin{eqnarray*} (1+2y^2)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

Das linke ist ein Produkt, beziehungsweise sehen wir es als ein solches.
Und dann teilen wir durch y. Deine Zwischenschritte sind ein wenig too much, schließlich bekommt man sofort $\begin{eqnarray*} \frac{1+2y^2}{y} = \frac{1}{y} + \frac{2y^2}{y} = \frac{1}{y} + 2y \end{eqnarray*}$ für y ungleich 0.

02.01.2012, 11:17

Cheftheoretiker

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Okay, vielen Dank

hangman! smile

smile

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