Stetigkeit der Potenzfunktionen f(x) = x^n

12.01.2007, 19:31

ErRoRr-FuNCtiOn

Stetigkeit der Potenzfunktionen f(x) = x^n

Hallo miteinander,

Ich sitze hier an einer scheinbar einfachen Aufgabe,aber da irgendwie krieg ich es noch nicht alleine hin.

Die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeige anhand der Definition, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \ ,\ f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Was ändert sich am Beweis für $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \ ,\ f(z)=z^n \end{eqnarray*}$ ?

Also ich habe dann zuerst mal die Definition der Stetigkeit gesucht.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x : \ \ \mid x_0 - x \mid < \delta \ \ \Rightarrow \ \ \mid f(x_0)- f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir überlegt, was ist hier mein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?
Da die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ bei Null beginnen und eine Zahl $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist gehe ich jetzt mal davon aus dass $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Lieg ich da richtig?

Zum weiteren Vorgehen muss ich sagen dass ich nicht so ganz weiß wie ich das jetzt machen soll.

Könnte mir vllt bitte jemand helfen?
Wäre euch sehr dankbar.

Gruß ErRoRr

12.01.2007, 19:41

Dual Space

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RE: Stetigkeit der Potenzfunktionen f(x) = x^n

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Also ich habe dann zuerst mal die Definition der Stetigkeit gesucht.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

\Leftrightarrow \ \ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x : \ \ \mid x_0 - x \mid < \delta \ \ \Rightarrow \ \ \mid f(x_0)- f(x) \mid < \epsilon

Bring das erstmal in eine leserliche Form.

12.01.2007, 19:48

ErRoRr-FuNCtiOn

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Sorry, da habe ich wohl die Latex-Klammern vergessen, habs jetzt richtig gestellt. Hier ist es aber nun auch nochmal:

Also ich habe dann zuerst mal die Definition der Stetigkeit gesucht.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x : \ \ \mid x_0 - x \mid < \delta \ \ \Rightarrow \ \ \mid f(x_0)- f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Gruß ErRoRr

12.01.2007, 21:06

ErRoRr-FuNCtiOn

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Hmm ich glaube für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kann ich doch eine beliebige Zahl wählen oder? Nur das Problem dabei ist doch dann dass die Fkt bei $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ stetig sein könnte bei einem anderen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ dann wieder nicht. Also muss ich das doch irgendwie anders machen oder?
Kann mir da jemand einen Tipp geben?

14.01.2007, 21:09

manumanu

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bittteeee hhiiilllfeeeee
suche dringend hilfe weiß denn niemand wie ich das beweise dass die funktion stetig ist

15.01.2007, 12:48

Goki

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huhu ersma,

ich versuch das mal, aber gebe keine garantie für die richtigkeit.
wäre nett wenn sich das mal n schlaue kopf durchlesen würde und seine meinung äussern würde smile

also ..

ihr habt doch bestimmt in der vorlesung eine, zur $\begin{eqnarray*} \ \ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x : \ \ \mid x_0 - x \mid < \delta \ \ \Rightarrow \ \ \mid f(x_0)- f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ äquivalente defintion der stetigkeit gehabt

wenn nicht, schreib ich sie kurz auf

$\begin{eqnarray*} f stetig \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ muss gelten : $\begin{eqnarray*} a_n \longrightarrow x_0 \Rightarrow f(a_n) \longrightarrow f(x_0) \end{eqnarray*}$

wir sollen die stetigkeit für $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ nachweisen.
dazu betrachten wir die konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x , (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . wenn wir zeigen können, dass $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x \end{eqnarray*}$ stetig ist, ergibt sich das auch für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} (f_1 * f_1 * f_1 * ... * f_1)(x) \end{eqnarray*}$ (n-mal), und wir wissen das produkte stetiger funktionen wieder stetig sind.

wenn ihr in der vorlesung bereits gezeigt habt, dass konstante funktionen stetig sind bist du fertig, wenn nicht, dann versuchen wirs halt selber zu zeigen.

dazu nehmen wir an, dass eine folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, und betrachten das bild der folge, $\begin{eqnarray*} f_1(a_n) \end{eqnarray*}$ . da $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ konstant ist gilt $\begin{eqnarray*} f_1(a_n)= (x_n) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist die folge die nur aus x-en besteht). Diese Folge konvergiert offensichtlich gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Also nochmal, $\begin{eqnarray*} f_1(a_n) \longrightarrow x \end{eqnarray*}$ , wobei das Bild von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f_1(x_0)=x \end{eqnarray*}$ ist ... und genau das war ja zu zeigen

falls sich der thread ersteller nicht mehr dazu äussern sollten, weil er/sie das übungsblatt schon abgeben musste Big Laugh

, würde ich trotzdem jemanden bitten mir zu sagen, ob man die aufgabe so lösen könnte.

(das ne menge formfehler gemacht wurden ist mir bewusst, mir gehts jetzt mehr um die idee, die beweisskizze .. ihr wisst schon ^^)

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