Basis/ Lin. unabh./ Erzeugendensystem

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liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »
Basis/ Lin. unabh./ Erzeugendensystem
Ein frohes neues Jahr liebe Mathefreunde smile

Ich hab gleich zu Beginn des Neujahr eine Frage zum prinzipielen Vorgehen folgender Aufgabe:
Aufgabe:
Gegeben sei der folgende Unterraum des


Bestimmen die jeweisl eine Basis von U

Lösung :
Die Lösung dazu habe ich. Aber trotzdem ergeben sich immer noch Fragen!
Zur Lösung wird kurz die def der Basis eingeführt und dann nach lin unabh. geprüft, da wir ja schon ein Erzeugendensystem gegeben haben. Man prüft leicht das die Vektoren
lin. unabh. sind. Also gilt:
=
Alsi ist das eine Basis.

Frage:
Meine Frage dazu dazu ist, ware auch z.B oder oder auch ein Basis von U, da wenn ich mein Skalar entsprechend so wähle, dann kann ich doch mit einem Vektor auch jeweils die anderen vektoren erzeugen können. Weiterhin sind meine Erzeigendensysteme auch linear unabhängig. Z.b . Da ich mit dem Erzeugendensystem auch die anderen Vektoren darstellen kann und sie lin unabh. sind, sind sie somit auch eine Basis von U???

Wo liegt mein Denkfehler!!!

lg
liebe_Maus
histo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
Dein Denkfehler ist der Folgende:

Du musst jeden Vektor des zu erzeugenden Vektorraumes "direkt" als Linearkombination der Basisvektoren darstellen können.
In deinem Beispiel kannst du also nicht zuerst mit Hilfe deiner einelementigen Basis einen zweiten Vektor erzeugen, um dann mit diesem den kompletten Raum erzeugen zu können. Dieser zweite Vektor wäre ja linear abhängig von dem anderen Vektor deiner "neu erzeugten" Basis - und dies ist nach Def. einer Basis unzulässig.
Frohes Neues, ich hoffe, ich konnte dir helfen.
histo Auf diesen Beitrag antworten »

Darüber hinaus ist jede zweielementige Menge der drei gegeben Vektoren lin. unabh., d.h. du könntest hier deine angesprochene Vorgehensweise gar nicht anwenden. Mir fällt auch gerade kein Beispiel ein, bei dem das überhaupt funktionieren könnte.
Und noch etwas zum Test der linearen Unabhängigkeit der obigen einelementigen Menge: jede einelementige Menge - mit Ausnahme des Nullvektors - ist lin. unabh.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte dazu dann eine dumme Frage.
In wie fern kann ich nicht mit einem Vektor den ganzen Raum erzeugen. Ich kann mit einem Vektor einen der weiteren Vektoren erzeugen und damit wäre dieser aber dann lin. abh.. Aber was ist wenn ich nur einen einzigen Basisvektor wähle. Ich weiß das das falsch ist, aber wo genau vertüdel ich mich hier. Kann ich nicht mit einem Vektor wie. z.B nicht alle Vektoren aus den erzeugen, sodass mein Basisvektor ist????

lg
liebe_Maus
histo Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, du kannst z.B. den Vektor nicht erzeugen!
Vielleicht vertust du dich auch bei der Wahl der . Diese haben nicht die Form , sondern sind Skalare aus deinem Grundkörper der reellen Zahlen. Anschaulich also Zahlen . Bei der skalaren Multiplikation mit einem Vektor der Form multiplizierst du also jede Komponente des Vektors mit demselben Skalar - und kannst somit keineswegs alle Vektoren des erzeugen!
Am besten schläfst du mal ne Nacht darüber und schaust dir morgen nochmal die Definitionen von Erzeugendensystem, Linearkombinationen und Basen an smile
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