Konvergenz einer Reihe

12.01.2007, 19:44

MrMilk

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Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich bin grade dabei für Reihen Grenzwerte auszurechnen. Aber als erstes muss ich zeigen, dass die Reihe konvergent ist. Und dazu interessiert ich die Vorgehensweise:

Sehe ich es richtig, dass ich wie folgt vorgehe.
1. Paritalsumme nehmen
2. Partialsumme abschätzen
3. Partialsumme so weit abschätzen, das irgenwann dort ... <.... steht

Damit habe ich dann gezeigt, dass sie beschränkt ist und da immer nur addiert ist sie auch monoton wachsend, also konvergent.

Sehe ich das richtig so?

Bzw. kann ich das wie bei einer Folge sagen, aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz?

Viele Grüße
-- MrMilk

12.01.2007, 19:47

Dual Space

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RE: Konvergenz einer Reihe
Das mit der Folge der Partialsummen ist eine von vielen Möglichkeiten.

Zitat:

Original von MrMilk
Damit habe ich dann gezeigt, dass sie beschränkt ist und da immer nur addiert ist sie auch monoton wachsend, also konvergent.

Autsch .... geschockt

geschockt

..... wer sagt denn, dass die "Summanden" alle positiv sind?

12.01.2007, 19:50

MrMilk

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Hey DualSpace,

kannst du mir einen einfacheren Weg nennen oder ist das der geläuftigste?

Viele Grüße
-- MrMilk

12.01.2007, 19:52

Dual Space

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Naja für Reihenkonvergenz gibt es zahlreiche Kriterien. Die wichtigsten findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Ma...ergenzkriterien

12.01.2007, 20:03

MrMilk

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Danke

smile

13.01.2007, 14:17

MrMilk

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Hallo,

so ich habe mir nun einmal eine Reihe rausgesucht und möchte zeigen, dass diese konvergent ist.

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Das Qutientenkriterium kann ich nicht anwenden, da der Grenzwert genau $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist und darüber keine Aussage gemacht werden kann.

Kann mir jemand sagen, wie ich hier zum Beispiel das Majorantenkriterium anwenden kann?
So wie ich das im Augenlblick noch verstehe, brauche ich daszu eine zweite Reihe zum abschätzen, aber ich weiß grade nicht wo ich da eine finden kann.

Bin über jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße
-- MrMilk

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13.01.2007, 17:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrMilk
so ich habe mir nun einmal eine Reihe rausgesucht und möchte zeigen, dass diese konvergent ist.

Da wirst du nicht weit kommen, weil diese Reihe divergent ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise ist ungenau. Gemeint ist vermutlich:
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{(2k+1)} \end{eqnarray*}$

13.01.2007, 18:42

MrMilk

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Hallo klarsoweit(ne noch nicht so ganz ;-)),

kann ich denn dieses bestimmten?
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{(2k+1)} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
--MrMilk

14.01.2007, 15:35

Dual Space

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Zitat:

Original von MrMilk
kann ich denn dieses bestimmten?
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{(2k+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{2k+1}\geq\sum_{k=1}^n~\frac{1}{2k+k}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Und nun wieder du. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2007, 17:23

MrMilk

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Hey Dual-Space,

ok, nun ich wieder. Wie schon des öftern gezeigt wurde ist die harmonische Reihe nur konvergent, wenn der Exponent im Zähler größer 1 ist. Hier nicht der Fall, also divergent.

Richtig?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 17:26

Dual Space

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Zitat:

Original von MrMilk
Richtig?

Richtg! Aber für Exponenten verschieden von 1 nennt man das Ding nicht mehr harmonische Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2007, 17:30

MrMilk

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Mmmh, muss der Exponent eine natürliche Zahl sein? Oder wäre schon 1,000001 als Exponent ausreichend?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 17:34

Dual Space

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Zitat:

Original von MrMilk
Oder wäre schon 1,000001 als Exponent ausreichend?

Der Exponent kann reell sein und jepp 1,000001 reicht für Konvergenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 20:34

VinSander82

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vielleicht kannst mir sagen /erkläre wies ausschaut den grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^{2-1}} \end{eqnarray*}$ ....

lg vinni

16.01.2007, 09:57

klarsoweit

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Wegen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{4n^{2-1}} = \frac{1}{4} \cdot \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
haben wir auch hier wieder die divergente harmonische Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im übrigen fände ich es schön, wenn du für ein neues Thema auch einen neuen Thread aufmachst.

16.01.2007, 11:22

AD

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Zitat:

Original von VinSander82
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^{2-1}} \end{eqnarray*}$ ....

Ungewöhnliche Schreibweise des Exponenten. Wenn da mal nicht was anderes beabsichtigt war... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2007, 13:40

MrMilk

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Auf jeden Fall kann die Folge nicht konvergent sein ;-), da wie ein paar Nachrichten vorher der Exponent höher $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Viele Grüße
-- MrMilk

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