Injektiv oder surjektiv

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Shiu Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv oder surjektiv
Meine Frage:
Sind die folgenden Abbildung R² -> R² injektiv oder surjektiv

(1) f: (x,y) -> (y+2,x-1)
(2) f: (x,y) -> (xy,x+y)


Meine Ideen:
(1) Ist Injektiv, weil die 0 ausgeschlossen wird x = y+2
(2) Ist Surjektiv x1 = x2*y2 d.h 12 = 4*3 oder 12= 3*4 usw.
Analog auch für x+y

Ist das so richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist kaum brauchbares bei. Warum sollte die erste Abbildung injektiv sein, weil "die 0 ausgeschlossen" wird? Und dein Beispiel bei der zweiten Abbildung ist auch nicht hilfreich, ein Beispiel kann nie ein Beweis sein.

Wie lauten die Definitionen für injektiv/surjektiv? Mit diesen musst du hier arbeiten.
 
 
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß schon was Injektiv und Surjektiv bedeuted ..aber wie sollte ich, das den beweisen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Wie lauten die Definitionen für injektiv/surjektiv? Mit diesen musst du hier arbeiten.


Es reicht nicht aus, die Bedeutung einfach irgendwie zu kennen, bei solchen Aufgaben muss man sehr häufig mit dem exakten Wortlaut der Definition arbeiten. Fang einmal bei der ersten Funktion mit der Injektivität an, schreib dir die Definition der Injektivität auf. Dort steht auch drin, was du bei der Funktion überprüfen musst, die Definition liefert dir also direkt ein mögliches Vorgehen.
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität:

Für alle gilt

kann ich das so umstellen:

x -> y+2 und y->x-1
x -> x-1+2 = x+1

??

Auch und noch was ist R² nur positiv ??
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kannst du nicht so umstellen, wieso sollte das auch so funktionieren? Auch ist nicht "nur positiv". , die Einträge können also jede beliebige reelle Zahl sein. Desweiteren macht es hier nur bedingt Sinn, von "positiven" Zahlen zu sprechen.

Wir nehmen uns also mal zwei Elemente aus , etwa und wir setzen voraus, dass gilt. Wie sehen dann die Funktionswerte unter der Abbildung aus? Sind die Funktionswerte gleich? Warum/Warum nicht?
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn so gilt auch
weil ja
daraus folgt für alle
Das ist ja die Injektivität.

Dennoch kann es Surjektiv sein:
Da es für jedes
ist es auch surjektiv.

Also ist die Abbildung bijektiv?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung bildet aber doch nicht nur ab, achte da noch einmal drauf und überarbeite deinen Nachweis der Injektivität.

Auch dein Nachweis zur Surjektivität ist noch nicht ausreichend, bisher hast du nichts nachgewiesen sondern nur aufgeschrieben, was du zeigen willst.
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Injektiv:
Wenn so gilt auch
weil ja
darausfolgt


Wenn so gilt auch
weil ja
darausfolgt



Surjektiv:


Jeder Funktionswert hat (in diesem Fall) ein eindeutigen x Wert:


und

Wir können ausschließen das
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

In Iorek´s Abwesenheit übernehme ich mal, wobei ich eigentlich auch nur das sage was Iorek bereits gesagt hat:
f bildet hier Tupel (x,y) auf andere Tupel ab.
Ein ist hier nicht definiert, nur f(x,y).

Wenn du das eingesehen hast ist dein Injektivitätsbeweis noch rettbar, denn


Zur Surjektivität:
kein nie vorkommen, denn f(x,y) ist für alle definiert, als ein spezielles Element von

Die Formel ist schon mal richtig, wobei die Buchstaben im Kontext deiner Aufgabe verwiirend sind, da dort x,y bereits verwendet werden. Ich schreib´s mal für diesen Fall um:

Wie kann (x,y) in Abhängigkeit von (a,b) gewählt werden?
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

(x-2,y+1)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie kann (x,y) in Abhängigkeit von (a,b) gewählt werden?

Da muss was stehen in der Form (x,y)=... wobei auf der rechten Seite nur a, b, Zahlen und Rechenzeichen vorkommen durfen.
Übrigens ist f(x-2,y+1)=(y+3, x-1) und nicht das von dir wahrscheinlich erhoffte (x,y).
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

(x,y) = (a+1,b-2)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Fast, denn f(b+1,a-2)=(a-2+2, b+1-1)=(a,b). Da wir ein Urbild zu jedem Tupel ein Urbild gefunden haben, nämlich (b+1,a-2), ist f surjektiv.
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Also :



Beim ersten Tupel nimmst du die 1.Komponete und setzt sie beim 2 Tupel in die 2. Komponete ein.

Also hätte ich nach meiner Aussage f(a+1,b-2) = (b-2+2,a+1-1) =(b,a)

und hätte ich:


f(a+1,b-2) = (a+3+1,b-2+2,a+1-1) =(a+4,b,a) wobei das wenig Sinn machen würde..

Ach und wenn mein Urbild herstellt, beweist man ja eig. die Bjiektivität?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shiu


Beim ersten Tupel nimmst du die 1.Komponete und setzt sie beim 2 Tupel in die 2. Komponete ein.

Also hätte ich nach meiner Aussage f(a+1,b-2) = (b-2+2,a+1-1) =(b,a)

Richtig.
Zitat:

und hätte ich:


f(a+1,b-2) = (a+3+1,b-2+2,a+1-1) =(a+4,b,a) wobei das wenig Sinn machen würde..

Das ist auch vollkommen richtig. Allerdings ist mir unklar wieso das keinen Sinn ergeben soll.
Zitat:

Ach und wenn mein Urbild herstellt, beweist man ja eig. die Bjiektivität?

Auch wenn ich keine Ahnung habe was die erste Satzhälfte heißt:
Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mind. ein Urbild hat.
Bijektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Shiu Auf diesen Beitrag antworten »

Aso Danke smile
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