Observablen und Zustände in klassischer Mechanik, gemischte Zustände

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hurricane Auf diesen Beitrag antworten »
Observablen und Zustände in klassischer Mechanik, gemischte Zustände
Hallo alle zusammen!

Zunächst: Ich studiere im 3. Semester Physik und habe auf der Uni noch nichts zu Funktionalanalysis gehört.

Ich bin gerade dabei eine Präsentation zu dem Thema "Observablen und Zustände in klassischer Mechanik" vorzubereiten. Also im Grunde bin ich schon fertig. Mir ist allerdings beim durchsehen etwas aufgefallen, das mir doch nicht so ganz klar ist.

Grundsätzlich verallgemeinere ich Schritt für Schritt die Definition des Zustands, die man am Beginn einer Mechanik VO als determiniert durch Orts- und Impulskoordinaten (also reine Zustände) bekommt.
Und mein Problem liegt jetzt beim Übergang auf gemischte Zustände:
Da ich wie gesagt dazu noch nichts gehört habe, habe ich vor allem ein Skript von der ETH-Zürich verwendet, das ich im Internet gefunden habe, um mich einzulesen. Und dort steht an diesem Punkt:

"Definition. Der klassische Zustand eines mechanischen Systems ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Phasenraum.
Der reine Zustand eines klassischen Systems ist ein Spezialfall dieses neuen Zustandsbegriffs: das zugehorige Wahrscheinlichkeitsmass ist das Dirac-Mass . Beachte, dass ein sinnvoller Zustandsbegriff die Wahrscheinlichkeitsmasse auf den Spektren aller Messgrossen determinieren muss! Dies ist hier der Fall: sei eine beliebige Observable. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass gegeben durch

,

wobei das Urbild von bezeichnet."


Dass das gemacht wird, weil jede neue Theorie die alte (als Spezialfall) enthalten muss verstehe ich, aber ich verstehe nicht ganz wieso das hier der Fall ist. Also konkret verstehe ich nicht, wie sich aus dem Integral, wenn ich durch ersetze die "alte" Definition ergibt.
Die "alte" "Definition" ist wenn ich mich nicht irre einfach . Also der Wert einer Observable ist sofort durch Orts- und Impulskoordinaten gegeben.


Zunächst habe ich auch schon ein Problem mit . Müsste da nicht noch ein Argument stehen (das die Teilmenge beschreibt für die das Dirac-Maß =1 ist wenn darin liegt), oder liege ich da falsch? Wenn ich richtig liege, welches Argument müsste dann hier stehen?



Leider sind mir bis auf vage Vermutungen keine weiteren Ansätze mehr dazu eingefallen. Ich habe auch verschiedenste Ideen schon hier reingeschrieben (im Entwurf) im mir dann immer wieder klar zu werden, dass diese Idee Blödsinn war.


Ich hoffe ihr könnt mir helfen (wie gesagt, noch nichts von Funktionalanalysis auf der Uni gehört).

lg
Lukas
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ersteinmal hat dein Problem mehr mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zu tun, als Funktionalanalysis. Diese wirst du aber bei der Quantenmechanik brauchen.

Zu deinem Problem.

Das Dirac-Maß ist ein Maß mit


Das LebesgueIntegral ist in diesem Fall einfach


bzw. sieht man in der Physik auch häufiger die Notation



In deinem Sinne benutzt du dieses jetzt für
und erhälst



Zitat:

Die "alte" "Definition" ist wenn ich mich nicht irre einfach . Also der Wert einer Observable ist sofort durch Orts- und Impulskoordinaten gegeben.

Die beiden Sätze wiedersprechen sich hier auch wenn ich glaube zu wissen was gemeint ist.
Ein Zustand ist ja ein Objekt welches dein System beschreibt, also zum Beispiel ein WMaß.
Die Obeservablen f, ergeben nach Integration dann Wahrscheinlichkeiten, mit welchen bestimmte Messwerte angenommen werden. In diesem Sinne versuche letzte gleichung zu interpretieren und zu lesen.

mfg
hurricane Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle und kompetente Antwort!


Ich hoffe ich habe es halbwegs richtig verstanden:

Kann man die letzte Zeile auch schreiben als



(Sry für die Klammer rechts, weiß leider nicht wie ich die hier unterdrücken kann.) ? Und durch Anwenden der Funktion erhält man genau das was du geschrieben hast? So wäre es für mich zumindest irgendwie logisch analog zu der ersten Zeile in der du das Lebesgue-Integral verwendet hast.

Wobei ich mir allerdings, auch wenn das stimmen sollte, nicht ganz sicher bin ist das "fehlende" Argument des Maßes bei . Kann man das einfach weglassen, weil das Argument ohnehin nur eine Hilfsvariable wäre, die man für die Funktion benötigen würde, was aber hier nicht notwendig ist, weil ist?
D.h. könnte man auch schreiben



?
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sorry, wenn ich erst jetzt antworte. Ja das Argument wird häufig weggelassen, wenn dieses zu keinen missverständnissen führt. Insbesondere wirst du in der Physik später Integranden haben, welche auch mal über mehrere Zeilen gehen. Dort versucht man dann weitesgehend alle belanglosen Informationen für die Integration zu unterdrücken. Man muss nur im Hinterkopf behalten was wirklich gemeint ist.

mfg
hurricane Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, ich freue mich über jede Antwort, egal wann sie kommt Augenzwinkern

Stimmt den der erste Teil von dem was ich geschrieben hab auch??
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der erste Teil ist ok.

Beim der letzen Zeile in der Fallunterscheidung hast du


da sollte natürlich das weg, das Intervall soll ja bereits der Wertebereich der Messwerte sein.

mfg
 
 
hurricane Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mir vorhin eh aufgefallen. War nur ein Versehen. Konnte es aber nicht ausbessern, da das nur 15 min nach erstellen des Posts möglich ist.

Danke, du hast mir sehr geholfen!
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