Frage zu Zylinderkoordinaten, Problem mit dem Winkel

02.01.2012, 11:48

Arohn

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Frage zu Zylinderkoordinaten, Problem mit dem Winkel

Hallo zusammen!

Ich habe ein kleines Verständnisproblem mit der Transorfmation durch Beispielsweise Zylinderkoordinaten. Ein Vektor (x, y , z) wird überführt in (r*cos t, r*sin t, z)
Dabei ist die Funktionaldeterminante |det DF| = r

Ich weiß jetzt oft nicht wie ich bei Aufgabenstellungen die Winkel t eingrenze. Hierzu ein Beispiel aus einer Klausur die ich versuche zu rechnen:

Bestimme das 3dimensionale Volumen von A mit Hilfe von Zylinderkoordinaten:

A:= {(z*x, z*y, z) | 0<x²+y²<1; 0<z<1}

Transofmiere ich das, bekommen ich doch die Menge A'

A':={(z*r*cos t, z*r*sin t, z)| 0<r<1; 0<z<1; 0<t<2pi }

Berechne ich dann jeweils die iterierten Integrale komme ich bei den ersten beiden Koordinaten auf 0, da t von 0 bis 2pi läuft. Das verunsichert mich, da mir das schon öfter passiert ist. Das einzige wo ich mir unsicher bin ist eben dieses 0<t<2pi. Stimmt das? Oder was muss ich da anders machen?

Vielen Dank für Hilfen smile

smile

PS: da mein Latex grottig ist, leider nur in der Form, hier ist insbesondere "<"=kleinergleich!

02.01.2012, 12:14

Cel

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Hallo!

Zunächst wandern wir in die Hochschulanalysis.

Deine Parametrisierung stimmt. Aber wieso kommst du da irgendwo auf 0? Wie berechnest du denn das Volumen des Zylinders?

02.01.2012, 12:32

Arohn

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Hi,

also ich habe das Volumen von A berechnet indem ich jeweils das Volumen der einzelnen Teilfunktionen berechne

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{2\pi}~\int_{0}^{1}~r²*cos(t)*z \ dz dt dr \end{eqnarray*}$

die anderen analog...
da kommt bei mir nach der Integration nach z dann

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{2\pi}~r²*cos(t)*\frac{1}{2} \ dt dr \end{eqnarray*}$

und wenn ich nach t integriere ergibt das 0 da
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} cos(t) \ dt = 0 \end{eqnarray*}$

Oder bin ich jetzt schon total beschränkt?

02.01.2012, 12:42

Cel

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Öhm ... wieso tust du das? So ist das Volumen nicht definiert. Sondern eben durch Integration über die konstante 1 - Funktion,

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Vol}(A) = \int_{A} 1 \, \dd x \end{eqnarray*}$

Und das A transformierst du dann zu A' mit den Zylinderkoordinaten und da kommt dann die Funktionaldeterminante ins Spiel.

02.01.2012, 12:55

Arohn

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Ja schon, aber ich hab ja in meiner Menge A drei Koordinatenfunktionen die ich doch jeweils einzeln integrieren muss oder?

Die erste ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} z*x \end{eqnarray*}$ transformiert ergibt das $\begin{eqnarray*} z*r*cos(t)*r \end{eqnarray*}$ wobei das 2. r die Funktionaldeterminante ist.

und da A ja dreidimensional ist ist doch auch mein Volumen dreidimensional

mit $\begin{eqnarray*} \int_{A} f(x) dx = (\int_{A} f_1(x)dx ,\int_{A} f_2(x)dx,\ ... \, \int_{A} f_n(x)dx)^T \end{eqnarray*}$

Edit: ich fürchte ich habe da ein grundlegendes Verständnisproblem bei der Berechnung des Volumens :/

02.01.2012, 13:10

Cel

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Oh, nein. Das ist leider vollkommen falsch. unglücklich

unglücklich

Was soll denn ein dreidimensionales Volumen sein? Was sollte dabei rauskommen? Ein Körper im IR³ hat eine reelle Zahl als Volumen.

Mal ein Beispiel, damit du das noch mal überblicken kannst.

Der Einheitskreis hat welches Volumen (Flächeninhalt)? $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Das können wir so berechnen: Wir parametrisieren den Kreis durch $\begin{eqnarray*} \Omega = \{(x,y)~|~x^2 + y^2 \leq 1\} \end{eqnarray*}$ . Das Volumen ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega} 1 \, \dd x \end{eqnarray*}$ . Dabei ist diese 1 eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Das ist aber schwieirg, transformieren wir den Kreis lieber durch $\begin{eqnarray*} \Omega ' = \{(r \cdot \cos(t), r \cdot \sin(t))~|~r \in (0,1),~t \in (0, 2\pi)\} \end{eqnarray*}$ . Ok, schon besser:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Vol}(\Omega) = \int_{\Omega} 1 \, \dd x = \int_{\Omega '} 1 \cdot r \, \mathrm{d}y = \int_{0}^1 \int_0^{2 \pi} r~\dd t~\dd r = \pi \end{eqnarray*}$ .

Genau so geht das mit dem Zylinder. Die Funktionen, die die Fläche parametriseren, spielen keine Rolle. Lediglich die Determinante der Ableitungsmatrix.

Edit:

Zitat:

Original von Arohn
Edit: ich fürchte ich habe da ein grundlegendes Verständnisproblem bei der Berechnung des Volumens :/

Ja, das denke ich auch, aber ich hoffe, mein Beispiel bringt dir ein bisschen was. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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02.01.2012, 17:05

Arohn

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Ich muss also einfach nur die determinante der Ableitungsmatrix bilden und dann substituieren? wobei ich hier die funktionen aus meiner Menge A benutze?
Und dann über diese Determinante integrieren, da 1*|det DF| =|det DF| ist?

02.01.2012, 17:36

Arohn

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Also wenn ich die Menge

$\begin{eqnarray*} A:={(\sqrt{z}*x , \sqrt{z}*y , z | 0\leq z\leq 1 ; 0\leq x²+y² \leq 1)} \end{eqnarray*}$

Mit Zylinderkoordinaten Transformieren will erhalte ich die menge

$\begin{eqnarray*} A:={(\sqrt{z}*r*cos(t) , \sqrt{z}*r*sin(t) , z | 0\leq z\leq 1 ; 0\leq r \leq 1 ; 0 \leq t \leq 2\pi)} \end{eqnarray*}$

Mit der Funktionaldeterminante $\begin{eqnarray*} r^2*|-\frac{1}{2}*cos(t)| \end{eqnarray*}$

Und es ist

$\begin{eqnarray*} \int_A 1 d(x,y,z) = \int_A' 1*r^2 *|-\frac{1}{2}cos(t)| d(r,t,z) = \int_0^{2\pi} ~ \int_0^1 ~ \int_0^1 r^2*|-\frac{1}{2}cos(t)| dz dr dt = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, oder habe ich jetzt immer noch einen Denkfehler?

02.01.2012, 18:15

Cel

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Du hast für mich einen Rechnefehler, vom Vorgehen ist das so richtig. Das ist übrigens ein Sonderfall des Trafosatzes.

Wie kommst du auf diese Determinante? Zeig mal deine Jacobimatrix der Transformation, dabei ist auch wichtig, in welcher Reihenfolge du die Argumente notierst. Bei mir und meiner Rechnung ist

$\begin{eqnarray*} \Phi(r,t,z) = \begin{pmatrix}r \cos(t) \sqrt{z} \\ r \sin(t) \sqrt{z} \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

02.01.2012, 18:22

Arohn

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Bei mir auch.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix} cos(t)*\sqrt{z} & -r*sin(t)*\sqrt{z} & \frac{r*cos(t)}{2\sqrt{z}} \\ sin(t)\sqrt{z} & r*cos(t)*\sqrt{z} & \frac{r*sin(t)}{2\sqrt{z}} \\ cos(t) & -r*sin(t) & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was dann zur oben geschriebenen Determinante führen würde

02.01.2012, 18:45

Cel

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Die Matrix stimmt nicht. Aber fast. Guck dir noch mal die letzte Zeile an.

Der Eintrag unten links soll zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial r} z \end{eqnarray*}$ sein, das ist nicht cos(t).

02.01.2012, 23:46

Arohn

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Aaaah, tut mit Leid, das liegt an einem Tippfehler meinerseits, die dirtte Koordinate ist nicht "z" sondern "x" also ist A

$\begin{eqnarray*} A:={(\sqrt{z}*x , \sqrt{z}*y , x | 0\leq z\leq 1 ; 0\leq x²+y² \leq 1)} \end{eqnarray*}$

Deswegen auch meine andere Jacobimatrix, das tut mir jetzt Leid.
Falls du noch kurz Lust hast und mal bei dir nachschaue ob du dann auf dasselbe kommst wie ich?

Auf jedenfall vielen Dank smile

smile

03.01.2012, 12:53

Cel

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Jetzt müsstest du mir nur noch erklären, wie du auf den Betrag da kommst. Ich hab das nämlich alles ohne Betrag.

03.01.2012, 20:49

Arohn

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Für den Transformationssatz braucht man doch den Betrag der Funktionaldeterminante.

Da $\begin{eqnarray*} 0\leq r \Rightarrow 0 \leq r^2 \end{eqnarray*}$
ist $\begin{eqnarray*} | r^2 * \frac{-1}{2} * cos(t) | = \frac{1}{2} * r^2 * |cos(t)| \end{eqnarray*}$

Den cos kann ich aber nicht einfach aus dem Betrag ziehen..

04.01.2012, 13:09

Cel

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Forum Kloppe

Finger1

Du hast vollkommen Recht. Ana III ist wohl zu lange her.

04.01.2012, 13:23

Arohn

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Trotzdem vielen Dank, du hast mir sehr geholfen smile

smile

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